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<title>第一章 代数、三角公式与初等函数 - 数学手册</title>
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<ol class="chapter"><li class="chapter-item expanded affix "><a href="from_the_editor.html">编 者 的 话</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_1.html" class="active">第一章 代数、三角公式与初等函数</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_2.html">第二章 初等几何图形的计算与作图</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_3.html">第三章 代 数 方 程</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_4.html">第四章 矩阵·行列式·线性方程组</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_5.html">第五章 微 分 学</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_6.html">第六章 积 分 学</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_7.html">第七章 解析几何与微分几何</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_8.html">第八章 矢量算法与场论初步·张量 算法与黎曼几何初步</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_9.html">第九章 抽象代数·线性空间·泛函分析</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_10.html">第十章 复变函数</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_11.html">第十一章 傅立叶级数与积分变换</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_12.html">第十二章 特殊函数</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_13.html">第十三章 常微分方程</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_14.html">第十四章 偏微分方程</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_15.html">第十五章 积分方程</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_16.html">第十六章 概率统计与随机过程</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_17.html">第十七章 误差理论与实验数据处理</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_18.html">第十八章 最优化方法</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_19.html">第十九章 有限元法</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_20.html">第二十章 初等数论</a></li><li class="chapter-item expanded affix "><a href="chapter_21.html">第二十一章 集论与一般拓扑学</a></li></ol>
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<main>
<h1 id="第一章--代数三角公式与初等函数"><a class="header" href="#第一章--代数三角公式与初等函数">第一章 代数、三角公式与初等函数</a></h1>
<p>这里收集和整理了初等代数(代数方程部分见第三章)、平面三角与球面三
角的一些常用公式，同时也介绍了-些常见的初等函数(一个实自变量)的简单
性质与图形，所以本章基本上包括了中等学校里的代数学和三角学的主要内容。</p>
<h2 id="1--代-数-公-式"><a class="header" href="#1--代-数-公-式">§1 代 数 公 式</a></h2>
<h3 id="一数的扩张分类及其基本运算规则"><a class="header" href="#一数的扩张分类及其基本运算规则">一、数的扩张、分类及其基本运算规则</a></h3>
<h4 id="1-数的扩张与分类表"><a class="header" href="#1-数的扩张与分类表">1. 数的扩张与分类表</a></h4>
<p>\(
\begin{aligned}
&\text{自然数}\\
\text{(减法)}&\quad\downarrow \\
&\text{整 数}
\begin{cases}
\text{零}\\
\text{正整数(即自然数)}\\
\text{负整数}
\end{cases}\\
\text{(除法)}&\quad\downarrow \\
&\begin{aligned}
&\text{有理数}\\
&\text{(即分数)}
\end{aligned}\left\{
\begin{aligned}
&\text{零}\\
&\text{正有理数}\\
&\text{负有理数}
\end{aligned}
\right\}
\begin{aligned}
&\text{有限小数或}\\
&\text{无限循环小数}
\end{aligned}\\
\text{(极限)}&\quad\downarrow \\
&\text{实 数}
\begin{cases}
\text{有理数}\\
\text{无理数}\left\{
\begin{aligned}
\text{正无理数} \\
\text{负无理数}
\end{aligned}
\right\}
\text{无限不循环小数}
\end{cases}\\
\text{(代数方程)}&\quad\downarrow \\
&\text{复 数}
\begin{cases}
\text{代数数}\left(
\begin{aligned}
&\text{有理数、有理整数(即}\\
&\text{通常意义下的整数)和}\\
&\text{代数整数都是其特征}
\end{aligned}
\right)\\
\text{超越数(实超越数是无理数的特例)}
\end{cases}
\end{aligned}
\)</p>
<!-- \\(
\text{实数}
\\begin{cases}
&\text{有理数}\\left\\{
\\begin{aligned}
&\text{正有理数} \\\\
&\text{零}\\\\
&\text{负有理数}
\\end{aligned}
\\right\\}
\downarrow
\\begin{aligned}
&\text{有限小数或}\\\\
&\text{无限循环小数}.
\\end{aligned}\\\\
&\text{无理数}\\left\\{
\\begin{aligned}
&\text{正无理数} \\\\
&\text{负无理数}
\\end{aligned}
\\right\\}
\text{无限不循环小数.}
\\end{cases}
\\)
$$\overbrace{1+2+\cdots+100}$$
\begin{array}{lcl}
z & = & a \\\\
f(x,y,z) & = & x + y + z
\end{array} -->
<h4 id="2-实数四则运算规则"><a class="header" href="#2-实数四则运算规则">2. 实数四则运算规则</a></h4>
<p><strong>[加减法规则]</strong> 同号两教相加，绝对值相加，符号与加数同；异号两数相加，绝对值相减(大的减小的)，符号与绝对值大的加数同；任何实数和零相加，等于实数本身。减法是加法的逆运算，两个数相减只要把减数变成同它符号相反的数，即可按照加法规则运算。</p>
<p><strong>[乘除法规则]</strong> 同号两数相乘,绝对值相乘, 符号位正；异号两数相乘，绝对值相乘，符号位负；任何数与零相乘等于零; 任何数与 1 相乘等于它自己，除法是乘法的逆运算, 同号两数相除, 绝对值相除；异号两数相除，绝对值相除, 符号为负; 任何数除以 1 等于它自己；零除以任何不等于零的数等于零；零不能做除数。</p>
<p>[四则混合运算规则] 先乘除，后加减；先括号内，后括号外。</p>
<h4 id="3-数的三个基本运算律"><a class="header" href="#3-数的三个基本运算律">3. 数的三个基本运算律</a></h4>
<p>[交换律] \(\qquad a+b=b+a \qquad\qquad\qquad\quad ab=ba\)</p>
<p>[结合律] \(\qquad (a+b)+c=a+(b+c) \qquad abc=a(bc)\)</p>
<p>[交换律] \(\qquad (a+b)c=ac+bc\)</p>
<h4 id="4-乘方与开方"><a class="header" href="#4-乘方与开方">4. 乘方与开方</a></h4>
<p>[乘方] n 个数 a 相乘</p>
<p>\begin{matrix}\underbrace{a\times a\times\cdots\times a=a^n} \\ n 个 \end{matrix}</p>
<p>称为 a 的 n 次(乘)方,又称为 a 的 n 次幂，α 称为幂底数，n称为幂指数.</p>
<p>从乘法的符号规则直接得出乘方的符号规则: 正数的任何次方为正数; 负数的偶次方为正数; 负数的奇次方为负数; 零的任何次方为零.</p>
<p>规定不等于零的数的零次方等于 1，即 \(a^0=1, a\ne0\).</p>
<p>[开平方] 若 \(a^2 = b\), 则 a 称为 b 的平方根， 记为\( a = \pm \sqrt{b} \), 求平方根的运算称为开平方，开平方的一般方法用下面例子说明.</p>
<p>例 求 316.4841 的平方根</p>
<p>解 第一步，先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号 "," 分段，如把数 316.4841 分段成 3,16.48,41. 第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加 1 的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为 3，初商为 1，因为 \(1^2=1<3\), 而 \((1+1)^2=4>3\). 第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为 216. 第四步，找出试商，使(20 x 初商 + 试商) x 试商不超过第一余数，而[20 x 初商 + (试商 + 1)] x (试商 + 1) 则大于第一余数. 第五步，把第一余数减去(20 x 初商 + 试商) x 试商, 并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为 7，第二余数为 2748，依此法继续做下去，知道移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束. 若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值. 第六步，定小数位点位置，平方根小数点位置应与被开放数的小数点位置对齐，本例的算式如下：</p>
<p><a href="./img/%E5%BC%80%E6%96%B9%E7%AE%97%E5%BC%8F.jpg"><img src="./img/%E5%BC%80%E6%96%B9%E7%AE%97%E5%BC%8F.jpg" alt="" /></a></p>
<p>[开立方] 若\(a^3 = b\)，则a称为b的立方根，记为\(a=\sqrt[3]{b}\)，求立方根的运算称为开立方.</p>
<p>一个数的平方根和立方根可从“平方根表”和“立方根表”中查到.</p>
<h4 id="5实数进位制"><a class="header" href="#5实数进位制">5.实数进位制</a></h4>
<p>[进位制的基与数字] 任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字的值与数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍，当小数点向左移一位时其值缩小10倍.例如</p>
<p>\(173.246=1 \times 10^{2}+7 \times 10+3+2 \times 10^{-1}+4 \times 10^{-2}+6 \times 10^{-3}\)</p>
<p>一般地，任一正数a可表为</p>
<p>$$
\begin{aligned}
a=& a_{n} a_{n-1} \cdots a_{1} a_{0} a_{-1} a_{-2} \cdots \\
=& a_{n} \times 10^{n}+a_{n-1} \times 10^{n-1}+\cdots+a_{1} \times 10+a_{0} \\
&+a_{-1} \times 10^{-1}+a_{-2} \times 10^{-2}+\cdots
\end{aligned}
$$</p>
<p>这就是10进数，记作\(a_{(10)}\)，数10称为进位制的基，式中\(a_{i}\)在{0,1,2,...,9}中取值，称为10进数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1的正整数当作进位制的基，于是就得到q进数表示</p>
<p>\(a_{(q)}=a_{n} a_{n-1} \cdots a_{1} a_{0} a_{-1} a_{-2} \cdots=a_{n} q^{n}+a_{n-1} q^{n-1}+\cdots+a_{1} q+a_{0}+a_{-1} q^{-1}+a_{-2} q^{-2}+\cdots\)</p>
<p>式中数字\(a_{i}\)在{0,1,2,...,q-1}中取值，\(a_{n} a_{n-1} \cdots a_{1} a_{0}\)称为q进数\(a_{(q)}\)的整数部分，记作[\(a_{(q)}\)];</p>
<p>\(a_{-1} a_{-2} \cdots\)称为\(a_{(q)}\)的分数部分，记作{\(a_{(q)}\)}.常用进位制，除10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如下</p>
<p>$$
\begin{aligned}
2 \text { 进制 }\qquad & 0,1 \\
8 \text { 进制 }\qquad & 0,1,2,3,4,5,6,7 \\
16 \text { 进制 }\qquad & 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \\
& \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}
\end{aligned}
$$</p>
<p>[2，8，16进制的加法与乘法表]</p>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\begin{aligned}
&2 \text { 进制加法表 }\\
&\begin{array}{c|c|c}
\hline+ & 0 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 10 \\
\hline
\end{array}
\end{aligned}
$$
</div>
<div style=width:20px;>
</div>
<div>
$$
\begin{aligned}
&2 \text { 进制乘法表 }\\
&\begin{array}{c|cc}
\hline \times & 0 & 1 \\
\hline 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
\hline
\end{array}
\end{aligned}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\begin{aligned}
&8 \text { 进制加法表 }\\
&\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\hline+ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
\hline 0 & 00 & 01 & 02 & 03 & 04 & 05 & 06 & 07 \\
1 & 01 & 02 & 03 & 04 & 05 & 06 & 07 & 10 \\
2 & 02 & 03 & 04 & 05 & 06 & 07 & 10 & 11 \\
3 & 03 & 04 & 05 & 06 & 07 & 10 & 11 & 12 \\
4 & 04 & 05 & 06 & 07 & 10 & 11 & 12 & 13 \\
5 & 05 & 06 & 07 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\
6 & 06 & 07 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\
7 & 07 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\
\hline
\end{array}
\end{aligned}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\begin{aligned}
&8 \text { 进制乘法表 }\\
&\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\hline \times & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
\hline 0 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 \\
1 & 00 & 01 & 02 & 03 & 04 & 05 & 06 & 07 \\
2 & 00 & 02 & 04 & 06 & 10 & 12 & 14 & 16 \\
3 & 00 & 03 & 06 & 11 & 14 & 17 & 22 & 25 \\
4 & 00 & 04 & 10 & 14 & 20 & 24 & 30 & 34 \\
5 & 00 & 05 & 12 & 17 & 24 & 31 & 36 & 43 \\
6 & 00 & 06 & 14 & 22 & 30 & 36 & 44 & 52 \\
7 & 00 & 07 & 16 & 25 & 34 & 43 & 52 & 61 \\
\hline
\end{array}
\end{aligned}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\begin{aligned}
&16 \text { 进制加法表 }\\
&\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\hline+ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} & \overline{5} \\
\hline 0 & 00 & 01 & 02 & 03 & 04 & 05 & 06 & 07 & 08 & 09 & 0 \overline{0} & 0 \overline{1} & 0 \overline{2} & 0 \overline{3} & 0 \overline{4} & 0 \overline{5} \\
1 & 01 & 02 & 03 & 04 & 05 & 06 & 07 & 08 & 09 & 0 \overline{0} & 0 \overline{1} & 0 \overline{2} & 0 \overline{3} & 0 \overline{4} & 0 \overline{5} & 10 \\
2 & 02 & 03 & 04 & 05 & 06 & 07 & 08 & 09 & 0 \overline{0} & 0 \overline{1} & 0 \overline{2} & 0 \overline{3} & 0 \overline{4} & 0 \overline{5} & 10 & 11 \\
3 & 03 & 04 & 05 & 06 & 07 & 08 & 09 & 0 \overline{0} & 0 \overline{1} & 0 \overline{2} & 0 \overline{3} & 0 \overline{4} & 0 \overline{5} & 10 & 11 & 12 \\
4 & 04 & 05 & 06 & 07 & 08 & 09 & 0 \overline{0} & 0 \overline{1} & 0 \overline{2} & 0 \overline{3} & 0 \overline{4} & 0 \overline{5} & 10 & 11 & 12 & 13 \\
5 & 05 & 06 & 07 & 08 & 09 & 0 \overline{0} & 0 \overline{1} & 0 \overline{2} & 0 \overline{3} & 0 \overline{4} & 0 \overline{5} & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\
6 & 06 & 07 & 08 & 09 & 0 \overline{0} & 0 \overline{1} & 0 \overline{2} & 0 \overline{3} & 0 \overline{4} & 0 \overline{5} & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\
7 & 07 & 08 & 09 & 0 \overline{0} & 0 \overline{1} & 0 \overline{2} & 0 \overline{3} & 0 \overline{4} & 0 \overline{5} & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\
8 & 08 & 09 & 0 \overline{0} & 0 \overline{1} & 0 \overline{2} & 0 \overline{3} & 0 \overline{4} & 0 \overline{5} & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\
9 & 09 & 0 \overline{0} & 0 \overline{1} & 0 \overline{2} & 0 \overline{3} & 0 \overline{4} & 0 \overline{5} & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 \\
\overline{0} & 0 \overline{0} & 0 \overline{1} & 0 \overline{2} & 0 \overline{3} & 0 \overline{4} & 0 \overline{5} & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 \\
\overline{1} & 0 \overline{1} & 0 \overline{2} & 0 \overline{3} & 0 \overline{4} & 0 \overline{5} & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 1 \overline{0} \\
\overline{2} & 0 \overline{2} & 0 \overline{3} & 0 \overline{4} & 0 \overline{5} & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 1 \overline{0} & 1 \overline{1} \\
\overline{3} & 0 \overline{3} & 0 \overline{4} & 0 \overline{5} & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 1 \overline{0} & 1 \overline{1} & 1 \overline{2} \\
\overline{4} & 0 \overline{4} & 0 \overline{5} & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 1 \overline{0} & 1 \overline{1} & 1 \overline{2} & 1 \overline{3} \\
\overline{5} & 0 \overline{5} & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 1 \overline{0} & 1 \overline{1} & 1 \overline{2} & 1 \overline{3} & 1 \overline{4} \\
\hline
\end{array}
\end{aligned}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\begin{aligned}
&16 \text { 进制乘法表 }\\
&\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\hline+ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} & \overline{5} \\
\hline 0 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 & 00 \\
1 & 00 & 01 & 02 & 03 & 04 & 05 & 06 & 07 & 08 & 09 & 0 \overline{0} & 0 \overline{1} & 0 \overline{2} & 0 \overline{3} & 0 \overline{4} & 0 \overline{5} \\
2 & 00 & 02 & 04 & 06 & 08 & 0 \overline{0} & 0 \overline{2} & 0 \overline{4} & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 1 \overline{0} & 1 \overline{2} & 1 \overline{4} \\
3 & 00 & 03 & 06 & 09 & 0 \overline{2} & 0 \overline{5} & 12 & 15 & 18 & 1 \overline{1} & 1 \overline{4} & 21 & 24 & 27 & 2 \overline{0} & 2 \overline{3} \\
4 & 00 & 04 & 08 & 0 \overline{2} & 10 & 14 & 18 & 1 \overline{2} & 20 & 24 & 28 & 2 \overline{2} & 30 & 34 & 38 & 3 \overline{2} \\
5 & 00 & 05 & 0 \overline{0} & 0 \overline{5} & 14 & 19 & 1 \overline{4} & 23 & 28 & 2 \overline{3} & 32 & 37 & 3 \overline{2} & 41 & 46 & 4 \overline{1} \\
6 & 00 & 06 & 0 \overline{2} & 12 & 18 & 1 \overline{4} & 24 & 2 \overline{0} & 30 & 36 & 3 \overline{2} & 42 & 48 & 4 \overline{4} & 54 & 5 \overline{0} \\
7 & 00 & 07 & 0 \overline{4} & 15 & 1 \overline{2} & 23 & 2 \overline{0} & 31 & 38 & 3 \overline{5} & 46 & 4 \overline{3} & 54 & 5 \overline{1} & 62 & 69 \\
8 & 00 & 08 & 10 & 18 & 20 & 28 & 30 & 38 & 40 & 48 & 50 & 58 & 60 & 68 & 70 & 78 \\
9 & 00 & 09 & 12 & 1 \overline{1} & 24 & 2 \overline{3} & 36 & 3 \overline{5} & 48 & 51 & 5 \overline{0} & 63 & 6 \overline{2} & 75 & 7 \overline{4} & 87 \\
\overline{0} & 00 & 0 \overline{0} & 14 & 1 \overline{4} & 28 & 32 & 3 \overline{2} & 46 & 50 & 5 \overline{0} & 64 & 6 \overline{4} & 78 & 82 & 8 \overline{2} & 96 \\
\overline{1} & 00 & 0 \overline{1} & 16 & 21 & 2 \overline{2} & 37 & 42 & 4 \overline{3} & 58 & 63 & 6 \overline{4} & 79 & 84 & 8 \overline{5} & 9 \overline{0} & \overline{0} \overline{5} \\
\overline{2} & 00 & 0 \overline{2} & 18 & 24 & 30 & 3 \overline{2} & 48 & 54 & 60 & 6 \overline{2} & 78 & 84 & 90 & 9 \overline{2} & \overline{0} 8 & \overline{1} 4 \\
\overline{3} & 00 & 0 \overline{3} & 1 \overline{0} & 27 & 34 & 41 & 4 \overline{4} & 5 \overline{1} & 68 & 75 & 82 & 8 \overline{5} & 9 \overline{2} & \overline{0} 9 & \overline{1} 6 & \overline{2} \overline{2} \\
\overline{4} & 00 & 0 \overline{4} & 1 \overline{2} & 2 \overline{0} & 38 & 46 & 54 & 62 & 70 & 7 \overline{4} & 8 \overline{2} & 9 \overline{0} & \overline{0} 8 & \overline{1} 6 & \overline{2} 4 & \overline{3} 2 \\
\overline{5} & 00 & 0 \overline{5} & 1 \overline{4} & 2 \overline{3} & 3 \overline{2} & 4 \overline{1} & 5 \overline{0} & 69 & 78 & 87 & 96 & \overline{0} 5 & \overline{1} 4 & \overline{2} 3 & \overline{3} 2 & \overline{4} 1 \\
\hline
\end{array}
\end{aligned}
$$
</div>
</div>
<p>[8-2，16-2数字转换表]</p>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\begin{array}{c|cccccccc}
\hline 8 \text { 进数 } & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
\hline 2 \text { 进数 } & 000 & 001 & 010 & 011 & 100 & 101 & 110 & 111 \\
\hline
\end{array}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\begin{array}{c|cccccccc}
\hline 16 \text { 进数 } & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
\hline 2 \text { 进数 } & 0000 & 0001 & 0010 & 0011 & 0100 & 0101 & 0110 & 0111 \\
\hline
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{c|cccccccc}
\hline 16 \text { 进数 } & 8 & 9 & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} & \overline{5} \\
\hline 2 \text { 进数 } & 1000 & 1001 & 1010 & 1011 & 1100 & 1101 & 1110 & 1111 \\
\hline
\end{array}
$$
</div>
</div>
<style>
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padding: 0.215em 0.5em 0.2em; border-left: 0.07em solid;
}
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}
div.flexclass > div{
padding: 0 10px;
}
</style>
<p>[各种进位制的相互转换]</p>
<p>1° q->10转换 适用通常的10进数四则运算规则，根据公式(1)，可以把q进数\(a_{(q)}\)转换为10进数表示.例如</p>
<p>$$
743_{(8)}=7 \times 8^{2}+4 \times 8+3=448+32+3=483_{(10)}
$$</p>
<p>$$
\begin{aligned}
1011.101_{(2)} &=1 \times 2^{3}+0 \times 2^{2}+1 \times 2+1+1 \times 2^{-1}+0 \times 2^{-2}+1 \times 2^{-3} \\
&=11.625_{(10)}
\end{aligned}
$$</p>
<p>2° 10->q转换 转换时必须分为整数部分和分数部分进行.</p>
<p>对于整数部分其步骤是：</p>
<p>(1)用q去除[\(a_{(10)}\)]，得到商和余数.</p>
<p>(2)记下余数作为q进数的最后一个数字.</p>
<p>(3)用商替换[\(a_{(10)}\)]的位置重复(1)和(2)两步，直到商等于零为止.</p>
<p>对于分数部分其步骤是：</p>
<p>(1)用q去乘{\(a_{(10)}\)}.</p>
<p>(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分的第一个数字.</p>
<p>(3)用乘积的分数部分替换{\(a_{(10)}\)}的位置，重复(1)和(2)两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止.例如：</p>
<p>$$
103.118_{(10)}=147.074324 \cdots_{(8)}
$$</p>
<div style=display:flex;justify-content:center;>
<div>
<div>整数部分的草式</div>
<img src="./img/整数部分的草式.jpg">
</div>
<div style=width:20px;> </div>
<div>
<div>分数部分的草式</div>
$$
\begin{array}{r|}
.118 \\
.944 \\
\hline 7.552 \\
\hline 4.416 \\
\hline 3.328 \\
\hline 2.624 \\
\hline 4.992
\end{array}
\begin{array}{r}
\text { 8 } \\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\end{array}
$$
</div>
</div>
<p>3° p->q转换 通常情况下其步骤是：\(a_{(p)} \rightarrow a_{(10)} \rightarrow a_{(q)}\).如果p,q是同一数s的不同次幂，其步骤是：\(a_{(p)} \rightarrow a_{(s)} \rightarrow a_{(q)}\).例如，8进数\(127.653_{(8)}\)转换为16进数时，由于8=23，16=24，所以s=2，其步骤是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)</p>
<p>$$
127.653_{(8)}=001 \ 010 \ 111.110 \ 101 \ 011_{(2)}
$$</p>
<p>然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字，即</p>
<p>$$
127.653_{(8)}=0101 \ 0111.1101 \ 0101 \ 1000_{(2)}=57 . \overline{3} 58_{(10)}
$$</p>
<h3 id="二复数"><a class="header" href="#二复数">二、复数</a></h3>
<h4 id="1复数的概念"><a class="header" href="#1复数的概念">1.复数的概念</a></h4>
<p>[实部与虚部·模与辐角·共轭复数] 复数\(z\)一般表示为\(z=a+ib\)，其中\(i=\sqrt{-1}\)称为虚数单位，a和b均为实数，分别称为z的实部和虚部，记为\(a=\operatorname{Re} z\)，\(b=\operatorname{Im} z\).</p>
<p>两个复数只有当实部和虚部分别相等时才相等.</p>
<p>\(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) 称为复数z的模.</p>
<p>\(\operatorname{Arg} z=\operatorname{Arc tg} \frac{b}{a}\)称为复数z的辐角，所以，一个复数有无穷多个辐角，但其中一个叫做主辐角，记为\(\operatorname{arg} z\)，它满足</p>
<p>\(0\leq arg z < 2π\)</p>
<p>并有 \(\operatorname{Arg} z=\operatorname{arg} z+2kπ \qquad (k=0,±1,±2,...)\)</p>
<p>\(z=a+ib\) 与 \(\overline{z}=a-ib\)</p>
<p>[虚数单位的乘方]</p>
<div class="flexclass" style="display:flex;justify-content:center;">
<div>
$$i=\sqrt{-1}$$
</div>
<div>
$$i^2=-1$$
</div>
<div>
$$i^3=-i$$
</div>
<div>
$$i^4=1$$
</div>
</div>
<div class="flexclass" style="display:flex;justify-content:center;">
<div>
$$i^{4n+1}=i$$
</div>
<div>
$$i^{4n+2}=-1$$
</div>
<div>
$$i^{4n+3}=-i$$
</div>
<div>
$$i^{4n}=1$$
</div>
</div>
<h4 id="2复数的表示法"><a class="header" href="#2复数的表示法">2．复数的表示法</a></h4>
<div align="center" style="float:right">
<img src="./img/图1.1.jpg">
</div>
<p>[坐标表示法] 复数\(z=a+ib\)可与直角坐标(a,b)建立一一对应(图1.1).</p>
<p>[矢量表示法] 把a，b视为矢量\(\overrightarrow{O P}\)在x轴和y轴上的投影，则矢量\(\overrightarrow{O P}\)(图1.1)可表示复数\(z=a+ib\)，与\(P\)点关于x轴对称的点记为\(P'\)，矢量\(\overrightarrow{O P'}\)表示共轭复数\(\overline{z}=a-ib\).</p>
<p>[三角表示法]
$$
\begin{aligned}
&z=|z|(\cos \theta+i \sin \theta) \\
&=r(\cos \theta+i \sin \theta)
\end{aligned}
$$</p>
<p>[指数表示法] \(z=|z| e^{i \theta}=r e^{i \theta}\)</p>
<h4 id="3复数的运算"><a class="header" href="#3复数的运算">3．复数的运算</a></h4>
<p>[代数式运算]</p>
<p>\((a+ib) \pm (c+id)=(a \pm c)+i(b \pm d)\)</p>
<p>\((a+ib) \times (c+id)=(ac - bd)+i(bc + ad)\)</p>
<p>\((a+i b) \div(c+i d)=\frac{a c+b d}{c^{2}+d^{2}}+i \frac{b c-a d}{c^{2}+d^{2}}\)</p>
<p>[三角式运算] 设
$$
z_{1}=r_{1}\left(\cos \theta_{1}+i \sin \theta_{1}\right) \quad z_{2}=r_{2}\left(\cos \theta_{2}+i \sin \theta_{2}\right)
$$</p>
<p>则</p>
<p>$$
z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} r_{2}\left[\cos \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)+i \sin \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)\right]
$$</p>
<p>$$
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left[\cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+i \sin \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\right]
$$</p>
<p>$$
z_{1}^{n}=r_{1}^{n}\left(\cos n \theta_{1}+i \sin n \theta_{1}\right)
$$</p>
<p>当\(r_{1}=1\)时，得\((\cos \theta_{1}+i \sin \theta_{1})^n=\cos n\theta_{1}+i \sin n\theta_{1}\)，这个公式叫做德·莫弗公式.</p>
<p>$$
z_{1}^{\frac{1}{n}}=r_{1}^{\frac{1}{n}}\left(\cos \frac{\theta_{1}+2 k \pi}{n}+i \sin \frac{\theta_{1}+2 k \pi}{n}\right) \quad(k=0,1,2, \cdots, n-1)
$$</p>
<p>[指数式运算] 设</p>
<p>$$
z_{1}=r_{1} e^{i \theta_{1}} \quad z_{2}=r_{2} e^{i \theta_{2}}
$$</p>
<p>则</p>
<p>$$
z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} r_{2} e^{i\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)} \quad \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)}
$$</p>
<p>$$
z^{n}=r^{n} e^{i n \theta} \quad z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}} e^{i \frac{\theta+2 k \pi}{n}} \quad(k=0,1,2, \cdots, n-1)
$$</p>
<h3 id="三数列与简单级数"><a class="header" href="#三数列与简单级数">三、数列与简单级数</a></h3>
<h4 id="1数列与级数的概念"><a class="header" href="#1数列与级数的概念">1．数列与级数的概念</a></h4>
<p>依照某种规则排列着的一列数</p>
<p>$$
a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n}, \cdots
$$</p>
<p>称为数列，记作{\(a_{n}\)}. 若把这一列数用和号联接起来：</p>
<p>$$
a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}+\cdots
$$</p>
<p>它称为级数，记作 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\). \(a_{n}\) 称为该数列或相应级数的通项（或称为一般项）.</p>
<h4 id="2等差数列与等差算术级数"><a class="header" href="#2等差数列与等差算术级数">2．等差数列与等差（算术）级数</a></h4>
<p>$$
a_{1}, a_{1}+d, a_{1}+2 d, a_{1}+3 d, \cdots \quad(d \text { 为常数 })
$$</p>
<p>称为公差为\(d\)的等差数列. 与等差数列相应的级数称为等差级数，又称算术级数.</p>
<p>通项公式 \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)</p>
<p>前 n 项和 \(S_{h}=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right) n}{2}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d\)</p>
<p>等差中项 \(a_{k}=\frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2} \quad(k>1)\)</p>
<h4 id="3等比数列与等比几何级数"><a class="header" href="#3等比数列与等比几何级数">3．等比数列与等比（几何）级数</a></h4>
<p>$$
a_{1}, a_{1} q, a_{1} q^{2}, a_{1} q^{3}, \cdots \quad(q \text { 为常数 })
$$</p>
<p>称为公比为 q 的等比数列.与等比数列相应的级数称为等比级数，又称几何级数.</p>
<p>通项公式 \(a_{n}=a_{1} q^{n-1}\)</p>
<p>前 n 项和 \(S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\frac{a_{1}-a_{n} q}{1-q}\)</p>
<p>等比中项 \(a_{k}=\pm \sqrt{a_{k-1} a_{k+1}} \quad\left(a_{k-1} a_{k+1}>0\right)\)</p>
<p>无穷递减等比级数的和 \(S=\sum_{n=1}^{\infty} a_{1} q^{n-1}=\frac{a_{1}}{1-q} \quad(|q|<1)\)</p>
<h4 id="4算术-几何级数"><a class="header" href="#4算术-几何级数">4．算术-几何级数</a></h4>
<p>$$
\sum_{k=0}^{n-1}(a+k d) q^{k}=\frac{a-[a+(n-1) d] q^{n}}{1-q}+\frac{d q\left(1-q^{n-1}\right)}{(1-q)^{2}} \quad(n \mid \geqslant 1)
$$</p>
<p>$$
\sum_{k=0}^{\infty}(a+k d) q^{k}=\frac{a}{1-a}+\frac{d q}{(1-a)^{2}} \quad(|q|<1)
$$</p>
<h4 id="5调和级数"><a class="header" href="#5调和级数">5．调和级数</a></h4>
<p>1° 若 \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\cdots\) 为等差级数，则 \(a+b+c+\cdots\) 称为调和级数. 调和中项为</p>
<p>$$
b=\frac{2 a c}{a+c}
$$</p>
<p>2° 设A, G, H分别为某两个数的等差中项、等比中项和调和中项，则</p>
<p>$$
A H=G^{2}
$$</p>
<h4 id="6高阶等差级数"><a class="header" href="#6高阶等差级数">6．高阶等差级数</a></h4>
<p>设有一数列</p>
<p>$$
a1, a2, \cdots, an, \cdots \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad (1)
$$</p>
<p>如果接连地从它的后一项减去前一项，那末就得到原数列(1)的第一次差构成的数列</p>
<p>$$
a_{2}-a_{1}, a_{3}-a_{2}, \cdots, a_{n}-a_{n-1}, \cdots \qquad \qquad (2)
$$</p>
<p>再接连地将(2)的后一项减去前一项，又得到数列(1)的第二次差构成的数列.依次类推：</p>
<p>$$
\begin{array}{lccccccc}
& a_{1} & & a_{2} & & a_{3} & & a_{4} & \\
\text { 第一次差 } & & d_{1}=\Delta a_{1} & & \Delta a_{2} & & \Delta a_{3} & & \ldots \\
\text { 第二次差 } & & & d_{2}=\Delta^{2} a_{1} & & \Delta^{2} a_{2} & & \ldots & \\
\text { 第三次差 } & & & & d_{3}=\Delta^{3} a_{1} & & \ldots & & \\
\text { } & & & & & \ldots & & &
\end{array}
$$</p>
<p>式中 \(\Delta^{k} a_{i}=\Delta^{k-1} a_{i+1}-\Delta^{k-1} a_{i}\)</p>
<p>如果做了 r 次，数列(1)的每个第 r 次差都相等，那末以后各次差都等于零，则称数列(1)为 r 阶等差数列. 与这样的数列相应的级数称为 r 阶等差级数. 一阶等差级数也就是通常的算术级数.</p>
<p>设(1)是 r 阶等差数列，并设\(d_{1}\)为(1)的第一次差构成的数列的首项，\(d_{2}\)为(1)的第二次差构成的数列的首项，\(\cdots , d_{r}\)为(1)的第 r 次差构成的数列的首项，则有</p>
<p>通项公式 (n>r)</p>
<p>$$
a_{n}=a_{1}+(n-1) d_{1}+\frac{(n-1)(n-2)}{2 !} d_{2}+\cdots+\frac{(n-1)(n-2) \cdots(n-r)}{r !} d_{r}
$$</p>
<p>前 n 项和</p>
<p>$$
S_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2 !} d_{1}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3 !} d_{2}+\cdots+\frac{n(n-1)(n-2) \cdots(n-r)}{(r+1) !} d_{r}
$$</p>
<h4 id="7某些级数的部分和"><a class="header" href="#7某些级数的部分和">7．某些级数的部分和</a></h4>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2} n(n+1)
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1)
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\frac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots+n^{4}=\frac{1}{30} n(n+1)(2 n+1)\left(3 n^{2}+3 n-1\right)
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots+n^{5}=\frac{1}{12} n^{2}(n+1)^{2}\left(2 n^{2}+2 n-1\right)
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
1^{6}+2^{6}+3^{6}+\cdots+n^{6}=\frac{1}{42} n(n+1)(2 n+1)\left(3 n^{4}+6 n^{3}-3 n+1\right)
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
1^{7}+2^{7}+3^{7}+\cdots+n^{7}=\frac{1}{24} n^{2}(n+1)^{2}\left(3 n^{4}+6 n^{3}-n^{2}-4 n+2\right)
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
1-2+3-\cdots+(-1)^{n-1} n= \begin{cases}\frac{1}{2}(n+1), & n \text { 为奇数 } \\\\ -\frac{n}{2}, & n \text { 为偶数 }\end{cases}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
1^{2}-2^{2}+3^{2}-\cdots+(-1)^{n-1} n^{2}=(-1)^{n-1} \frac{1}{2} n(n+1)
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
1^{3}-2^{3}+3^{3}-\cdots+(-1)^{n-1} n^{3}= \begin{cases}\frac{1}{4}(2 n-1)(n+1)^{2} & n \text { 为奇数 } \\\\ -\frac{1}{4} n^{2}(2 n+3), & n \text { 为偶数 }\end{cases}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
1^{4}-2^{4}+3^{4}-\cdots+(-1)^{n-1} n^{4}=(-1)^{n-1} \frac{1}{2} n(n+1)\left(n^{2}+n-1\right)
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
2+4+6+\cdots+2 n=n(n+1)
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
1+3+5+\cdots+(2 n-1)=n^{2}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}=\frac{1}{3} n\left(4 n^{2}-1\right)
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots+(2 n-1)^{3}=n^{2}\left(2 n^{2}-1\right)
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+\cdots+n(n+1)=\frac{1}{3} n(n+1)(n+2)
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
1 \cdot 2 \cdot 3+2 \cdot 3 \cdot 4+3 \cdot 4 \cdot 5+\cdots+n(n+1)(n+2)=\frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3)
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4+2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5+\cdots+n(n+1)(n+2)(n+3)=\frac{1}{5} n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\sum_{j=1}^{n} j(j+1) \cdots(j+k)=\frac{1}{k+2} \frac{(n+k+1) !}{(n-1) !}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\sum_{j=1}^{n} j(j+1)^{2}=\frac{1}{12} n(n+1)(n+2)(3 n+5)
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\sum_{j=1}^{n} j(j+1)^{2}(j+2)=\frac{1}{10} n(n+1)(n+2)(n+3)(2 n+3)
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\sum_{j=1}^{n} j\left(n^{2}-j^{2}\right)=\frac{1}{4} n^{2}\left(n^{2}-1\right)
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\sum_{j=1}^{n} 2^{j} j(j+1)=2^{n+1}\left(n^{2}-n+2\right)-4
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}\\
=\frac{1}{18}-\frac{1}{3(n+1)(n+2)(n+3)}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\sum_{j=2}^{n} \frac{1}{(j+1)(j-1)}=\sum_{j=2}^{n} \frac{1}{j^{2}-1}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2 n}-\frac{1}{2(n+1)}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{(2 j-1)(2 j+1)}=\frac{n}{2 n+1}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{(3 j-2)(3 j+1)}=\frac{n}{3 n+1}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{(2 j-1)(2 j+1)(2 j+3)}=\frac{1}{12}-\frac{1}{4(2 n+1)(2 n+3)}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{(3 j-2)(3 j+1)(3 j+4)}=\frac{1}{24}-\frac{1}{6(3 n+1)(3 n+4)}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\sum_{j=1}^{n} \frac{2 j-1}{j(j+1)(j+2)}=\frac{3}{4}-\frac{2}{n+2}+\frac{1}{2(n+1)(n+2)}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\sum_{j=1}^{n} \frac{j+2}{j(j+1)(j+3)}=\frac{29}{36}-\frac{1}{n+3}-\frac{3}{2(n+2)(n+3)}-\frac{4}{3(n+1)(n+2)(n+3)}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\sum_{j=1}^{n} \frac{j 2^{j-1}}{(j+1)(j+2)}=\frac{2^{n}}{n+2}-\frac{1}{2}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\sum_{j=1}^{n} \frac{j^{2} 4^{j}}{(j+1)(j+2)}=\frac{2}{3}+\frac{(n-1) 4^{n+1}}{3(n+2)}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\sum_{j=1}^{n} \frac{j+2}{j(j+1) 2^{j}}=1-\frac{1}{(n+1) 2^{n}}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\sum_{j=1}^{n} \frac{2 j+3}{j(j+1) 3^{j}}=1-\frac{1}{(n+1) 3^{n}}
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\sum_{j=1}^{n} \frac{(-1)^{j-1} 2^{j}}{\left[2^{j}+(-1)^{j}\right]\left[2^{j+1}+(-1)^{j+1}\right]}=\frac{1}{3}\left[1+\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}+(-1)^{n+1}}\right]
$$
</div>
</div>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\sum_{j=1}^{n} \frac{b(b+1) \cdots(b+j-1)}{a(a+1) \cdots(a+j-1)}=\frac{1}{b-a+1}\left[\frac{b(b+1) \cdots(b+n)}{a(a+1) \cdots(a+n-1)}-b\right]
$$
</div>
</div>
<h3 id="四乘法与因式分解公式"><a class="header" href="#四乘法与因式分解公式">四、乘法与因式分解公式</a></h3>
<div style=display:flex;>
<div>
$$
\begin{aligned}
&(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b \\
&(a \pm b)^{2}=a^{2} \pm 2 a b+b^{2} \\
&(a \pm b)^{3}=a^{3} \pm 3 a^{2} b+3 a b^{2} \pm b^{3} \\
&a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) \\
&a^{3} \pm b^{3}=(a \pm b)\left(a^{2} \mp a b+b^{2}\right) \\
&a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^{2}+\cdots+a b^{n-2}+b^{n-1}\right) \quad(n \text { 为正整数 }) \\
&a^{n}-b^{n}=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2} b+a^{n-3} b^{2}-\cdots+a b^{n-2}-b^{n-1}\right) \quad(n \text { 为偶数 }) \\
&a^{n}+b^{n}=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2} b+a^{n-3} b^{2}-\cdots-a b^{n-2}+b^{n-1}\right) \quad(n \text { 为奇数 }) \\
&(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a \\
&a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c=(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a\right)
\end{aligned}
$$
</div>
</div>
<h3 id="五分式"><a class="header" href="#五分式">五、分式</a></h3>
<h3 id="1分式运算"><a class="header" href="#1分式运算">1.分式运算</a></h3>
<p>$$
\begin{array}{ll}
\frac{a}{b} \pm \frac{c}{b}=\frac{a \pm c}{b} & \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a d \pm b c}{b d} \\
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a c}{b d} & \frac{a}{b} \div \frac{c}{d}=\frac{a d}{b c} \\
\left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}} & \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}(a>0, b>0)
\end{array}
$$</p>
<h3 id="2部分分式"><a class="header" href="#2部分分式">2.部分分式</a></h3>
<p>任一既约真分式(分子与分母没有公因子，分子次数低于分母次数)都可唯一地分解成形如 \(\frac{A}{(x-a)^{k}} \text { 或 } \frac{a x+b}{\left(x^{2}+p x+q\right)^{l}}\left(\text { 其中 } \frac{p^{2}}{4}-q<0\right)\) 的基本真分式之和，其运算称为部分分式展开. 若为假分式(分子次数不低于分母次数)，应先化为整式与真分式之和，然后再对真分式进行部分分式展开. 部分分式的各个系数可以通过待定系数法来确定. 下面分几种不同情况介绍.</p>
<p>设</p>
<p>$$
N(x)=n_{0}+n_{1} x+n_{2} x^{2}+\cdots+n_{r} x^{r}
$$</p>
<p>$$
G(x)=g_{0}+g_{1} x+g_{2} x^{2}+\cdots+g_{s} x^{s}
$$</p>
<p>[线性因子重复]</p>
<p>1° \(\frac{N(x)}{(x-a)^{m}}=\frac{A_{0}}{(x-a)^{m}}+\frac{A_{1}}{(x-a)^{m-1}}+\cdots+\frac{A_{m-1}}{x-a}\)</p>
<p>式中\(N_{x}\)的最高次数 r≤m-1；\(A_{0}\)，\(A_{1}\)，...，\(A_{m-1}\) 为待定常数，可由下式确定：</p>
<div>
$$
A_{0}=[N(x)]_{x=a}, \quad A_{k}=\frac{1}{k !}\left[\frac{d^{k} N(x)}{d x^{k}}\right]_{x=u} \quad(k=1,2, \cdots, m-1)
$$
</div>
<p>2° \(\frac{N(x)}{x^{m} G(x)}=\frac{A_{0}}{x^{m}}+\frac{A_{1}}{x^{m-1}}+\cdots+\frac{A_{m-1}}{x}+\frac{F(x)}{G(x)}\)</p>
<p>式中(A_{0}\)，\(A_{1}\)，...，\(A_{m}\)为待定常数，可由下式确定：</p>
<p>$$
\begin{aligned}
&A_{0}=\frac{n_{0}}{g_{0}}, \quad A_{j}=\frac{1}{g_{0}}\left(n_{j}-\sum_{i=0}^{j-1} A_{i} g_{j-i}\right) \quad(j=1,2, \cdots, m-1) \\