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#import "@preview/mitex:0.2.4": *
#import "@preview/tablex:0.0.6": tablex, hlinex
#import "@preview/tablem:0.1.0": tablem
#heading[第十章：图像分割]
== 背景知识
差分: 前向 $frac(partial f (x), partial x) = f (x + 1) - f (x)$ 后向 $frac(partial f (x), partial x) = f (x) - f (x - 1)$ 中值 $frac(partial f (x), partial x) = frac(f (x + 1) - f (x - 1), 2)$ 二阶 $frac(partial^2 f (x), partial x^2) = f (x + 1) - 2 f (x) + f (x - 1)$\
一阶导a）在恒定灰度区域为零；b）在灰度台阶和斜坡开始处不为零；c）在灰度斜坡上不为零\
二阶导a）在恒定灰度区域为零；b）在灰度台阶和斜坡开始处不为零；c）在灰度斜坡上为零\
(1)一阶导产生粗边缘；(2)二阶导对精细细节(如细线、孤立点和噪声)有更强的响应；(3)二阶导在灰度斜坡和台阶过渡处会产生双边缘响应；(4)二阶导的符号可用于确定边缘的过渡是从亮到暗(正)还是从暗到亮(负)。\
滤波器在核的中心点的响应是$Z = sum_(k = 1)^9 w_k z_k$ w 1,2,3为核第一行,以此类推
== 孤立点检测
拉普拉斯 $nabla^2 f (x , y) = frac(partial^2 f, partial x^2) + frac(partial^2 f, partial y^2) = f (x + 1 , y) + f (x - 1 , y) + f (x , y + 1) + f (x , y - 1) - 4 f (x , y)$
超过阈值T的标记 $g (x , y) = cases(delim: "{", 1 "," lr(|Z (x , y)|) > T, 0 "," upright("其他") & )$ $nabla^2 f=Z$
== 线检测
拉普拉斯核是各向同性的、特殊方向线检测通常采用如下4种摸板
// #image("./img/zxjc.png",height: 5%)
$"水平："
mat(
-1, -1, -1;
2, 2, 2;
-1, -1, -1;
)
"+45°："
mat(
2, -1, -1;
-1, 2, -1;
-1, -1, 2;
)
"垂直："
mat(
-1, 2, -1;
-1, 2, -1;
-1, 2, -1;
)
"-45°："
mat(
-1, -1, 2;
-1, 2, -1;
2, -1, -1;
)$
如果上述4种模板产生的响应分别为：Ri，如果|Ri(x,y)|>|Rj(x,y)|,并且i≠j，则认为此点与模板i方向的线有关。
== 边缘检测
梯度 $nabla f (x , y) equiv upright(g r a d) [f (x , y)] equiv mat(delim: "[", g_x (x , y); g_y (x , y)) = mat(delim: "[", frac(partial f (x , y), partial x); frac(partial f (x , y), partial y))$\
梯度幅度(L2) $M (x , y) = ||nabla f (x , y)|| = sqrt(g_x^2 (x , y) + g_y^2 (x , y))$\
绝对值来近似梯度幅度(L1)：$M (x , y) approx lr(|g_x|) + lr(|g_y|)$\
梯度方向(垂直边缘) $alpha (x , y) = arctan [frac(g_y (x , y), g_x (x , y))]$
$mat(
z_1, z_2, z_3;
z_4, z_5, z_6;
z_7, z_8, z_9
)$
*Robert算子* $g_x = frac(partial f, partial x) = (z_9 - z_5)$ $g_y = frac(partial f, partial y) = (z_8 - z_6)$\
*Prewitt算子* $g_x = frac(partial f, partial x) = (z_7 + z_8 + z_9) - (z_1 + z_2 + z_3)$ $g_y = frac(partial f, partial y) = (z_3 + z_6 + z_9) - (z_1 + z_4 + z_7)$\
*Sobel 算子* $g_x = frac(partial f, partial x) = (z_7 + 2 z_8 + z_9) - (z_1 + 2 z_2 + z_3)$ $g_y = frac(partial f, partial y) = (z_3 + 2 z_6 + z_9) - (z_1 + 2 z_4 + z_7)$\
与Sobel相比，Prewitt更简单，但Sobel能更好抑制（平滑）噪声。\
Kirsch罗盘核：用于检测8个罗盘方向的边缘幅度和方向\
二维高斯函数， $G (x , y) = upright(e)^(- frac(x^2 + y^2, 2 sigma^2))$ ;
高斯拉普拉斯(LoG)函数: $nabla^2 G (x , y) = (frac(x^2 + y^2 - 2 sigma^2, sigma^4)) upright(e)^(- frac(x^2 + y^2, 2 sigma^2))$\
*Marr-Hildreth算法* $g (x , y) = [nabla^2 G (x , y)] star.filled f (x , y) = nabla^2 [G (x , y) star.op f (x , y)]$ 寻找g(x,y)的过零点来确定f(x,y)中边缘的位置\
高斯差分(DoG)来近似式的LoG函数 $D_G (x , y) = frac(1, 2 pi sigma_1^2) upright(e)^(- frac(x^2 + y^2, 2 sigma_1^2)) - frac(1, 2 pi sigma_2^2) upright(e)^(- frac(x^2 + y^2, 2 sigma_2^2))$\
*Canny 坎尼* 1.用一个高斯滤波器平滑输入图$f_s (x , y) = G (x , y) star.op f (x , y)$ 2.计算梯度幅值图像$M_S$(L2)和角度图像$alpha (x , y) = tan^(- 1) [frac(g_y (x , y), g_x (x , y))]$ 3.对梯度幅值图像应用非极大值抑制进行细化边缘 4.用双阈值处理和连通性分析来检测与连接边缘\
非极大值抑制 寻找最接近α方向dk,修改值$g_N (x , y) = cases( 0 & M_s \( upright("x,y)小于d")_k upright("方向上的两个邻点值"), M_s (x , y) & upright("否则") & ) $\
双阈值化处理$g_(N H) (x , y) = g_N (x , y) gt.eq T_H $强边缘(存在间断) $g_(N L) (x , y) = g_N (x , y) gt.eq T_L $强边缘+弱边缘 $g_(N L) (x , y) = g_(N L) (x , y) - g_(N H) (x , y) $ 弱边缘
== 连接边缘点
满足条件则连接 $mat(delim: "|", M (s , t) - M (x , y)) lt.eq E$ $mat(delim: "|", alpha (s , t) - alpha (x , y)) lt.eq A$
*霍夫变换* $rho (theta) = x upright(c o s) theta + y upright(s i n) theta = R c o s (theta - phi.alt) = sqrt(x^2 + y^2) upright(c o s) (theta - arctan x / y)$
== 阈值处理
*单阈值* $g (x , y) = cases(delim: "{", 1 " " f (x , y) >= T,0" " f (x , y) lt.eq T & )$ *双阈值* $g (x , y) = cases(delim: "{", a ", " f (x , y) > T_2, b "," T_1 < f (x , y) lt.eq T_2, c "," f (x , y) lt.eq T_1 & )$
*基本的全局阈值化*
1. 为全局阈值$T$选择一个初始估计值。\
2. 在 $g (x , y) = cases(delim: "{", 1 "," f (x , y) > T, 0 "," f (x , y) lt.eq T & )$中用$T$分割图像。这将产生两组像素：由灰度值大于$T$的所有像素组成的$G_1$,由所有小于等于$T$的像素组成的$G_2$\
3. 对 $G_1$ 和 $G_2$中的像素分别计算平均灰度值(均值)$m_1$和 $m_2$\
4. 在$m_1$和 $m_2$之间计算一个新的阈值： $T=(m_1+m_2)/2$\
5. 重复步骤 2 到步骤 4,直到连续迭代中的两个$T$值间的差小于某个预定义的值$Delta T$为止。
*`OSTU`方法*:\
$n_i$ 表示灰度级i的像素数, $M*N= sum_(i=0)^(L-1) n_i;p_i=n_i/(M N);sum_(i = 0)^(L - 1) p_i = 1 , quad p_i gt.eq 0$\
分为两类 $c_1,c_2$ 累计概率 $P_1 (k) = sum_(i = 0)^k p_i;P_2 (k) = sum_(i = k + 1)^(L - 1) p_i = 1 - P_1 (k)$ \
平均灰度 $m_1 (k) = frac(1, P_1 (k)) sum_(i = 0)^k i p_i;m_2 (k) = frac(1, P_2 (k)) sum_(i = k + 1)^(L - 1) i p_i$ \
k级累计灰度 $m (k) = sum_(i = 0)^k i p_i$ 整个图像平均灰度 $m_G = sum_(i = 0)^(L - 1) i p_i$\
约束条件 $P_1 m_1 + P_2 m_2 = m_G;P_1 + P_2 = 1$\
全局方差 $sigma_G^2 = sum_(i = 0)^(L - 1) (i - m_G)^2 p_i$ \
类间方差 $sigma_B^2 = P_1 (m_1 - m_G)^2 + P_2 (m_2 - m_G)^2 = P_1 P_2 (m_1 - m_2)^2 = frac((m_G P_1 - m)^2, P_1 (1 - P_1))$ \
(选择k最大化 $sigma_B^2$ )\
扩展到多阈值$sigma_B^2 = sum_(k = 1)^K P_k (m_k - m_G)^2$ ; $sigma_B^2 (k_1^(\*) , k_2^(\*) , dots.h.c , k_(K - 1)^(\*)) = max_(0 < k_1 < k_2 < dots.h.c k_K < L - 1) sigma_B^2 (k_1 , k_2 , dots.h.c , k_(K - 1))$
//P554
== 区域生长 分离 聚合
*区域生长*
//p565
1. *初始种子区域*：从种子数组S(x,y)中找到所有连通分量，并将这些区域标记为1，其他位置标记为0。\
2. *条件筛选*：根据谓词Q对图像f(x,y)进行筛选，形成新的图像f，其中满足条件的像素标记为1，否则为0。\
3. *区域扩展*：将所有在图像f中8连通到种子点的1值点添加到S中，形成新的图像g。\
4. *连通区域标记*：用不同的标签标记图像g中的每个连通分量，得到最终的区域生长分割结果。
*分离聚合*
//p567
令R表示整个图像区域，Q是针对区域的一个逻辑谓词比如\
$Q = cases(delim: "{", upright(t r u e) " " sigma > alpha and 0 < m < b, upright(f a l s e) " "upright(o t h e r w i s e) & )$\
1把满足Q(Ri)=FALSE的任何Ri区域分离为四个不相交的子象限区域；\
2无法进一步分离时，聚合满足谓词逻辑$Q(R_j union R_k) = "TRUE"$的任意两个邻接区域Rj和Rk;\
3在无法进一步聚合时停止。
#image("./img/分离聚合.png",height: 8%)
== 分水岭变换
//P585
名词解释
1. *梯度图像*：算法使用图像的梯度图像 $g(x,y)$，其中包含多个区域极小值 $M_{1}, M_{2}, M_{g}$。这些极小值对应于图像中的局部低谷。\
2. *汇水盆地*：每个区域极小值 $M_{i}$ 都有一个与之相关联的汇水盆地 $C(M_i)$，这些汇水盆地中的点形成一个连通分量。\
3. *淹没过程*：算法通过模拟水位从最小值 $min$ 逐渐上升到最大值 $max$ 的过程来分割图像。在每个水位 $n$，集合 $T[n]$ 包含所有灰度值小于 $n$ 的点。\
4. *二值图像*：在每个水位 $n$，$T[n]$ 可以被视为一幅二值图像，其中黑点表示位于平面 $g(x,y) = n$ 下方的点。\
5. *汇水盆地分割*：随着水位上升，算法通过比较当前水位 $n$ 的连通分量与前一水位 $n-1$ 的汇水盆地，来确定是否需要构建水坝以防止不同汇水盆地的水流溢出。\
6. *水坝构建*：当水位上升到某个点时，如果发现有多个汇水盆地的水流可能溢出，算法会在这些汇水盆地之间构建水坝（即分割线），以阻止水流混合。\
流程\
1采用低阈值*二值化*（找盆底）;2逐渐*增加阈值*（模拟水涨）;\
3初次接触的点为*边界*（找到分水岭）;4*修坝*以继续寻找高位分水岭。
缺点:受噪声影响大;容易过度分割
== 分割中运动的使用
基本方法: 逐像素地比较 $t_i$ 和 $t_j$ 两帧图像 $f(x, y)$ 可以获得相应的差值图像：$d_(i j)(x, y) = cases(1 " " lr(|f(x comma y comma t_i) - f(x comma y comma t_j)|) > T,0 " " "其他")$ 其中 $T$ 是一个非负阈值。
累积差值:将参考图像 $R(x, y)$ 与序列中的每个后续图像进行比较。当当前图像中的像素与参考图像*不同*时，累积差分图像中每个像素的计数器会增加。在检查第 $t$ 帧时，累积差分图像显示该像素与参考图像中对应像素的差异次数。 定义$R(x,y)=f(x,y,1)$
绝对ADI: $A_k (x, y) =
cases( A_(k - 1)(x comma y) + 1 " " "如果 "|R(x comma y) - f(x comma y comma t_x)| > T,
A_(k - 1)(x comma y) " " "否则")$
正ADI:$P_k (x, y) =
cases( P_(k - 1)(x comma y) + 1 " " "如果 " R(x comma y) - f(x comma y comma t_x) > T,
P_(k - 1)(x comma y) " " "否则")$
负ADI:$N_k (x, y) =
cases( N_(k - 1)(x comma y) + 1 " " "如果 " R(x comma y) - f(x comma y comma t_x) < - T,
N_(k - 1)(x comma y) " " "否则")$