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#import "@preview/mitex:0.2.4": *
#heading[第三章：灰度变换与空间滤波]
== 基本的灰度变换
反转变换$S=L-1-r$ ;增强暗色区域中的白色或灰色细节; \
对数变换$S=c log(1+r)$ ;将范围较窄的低灰度值映射为范围较宽的 \
幂律(伽马)变换$s=c r^gamma$ ; $gamma<1$ 变亮,加强暗细节;反之变暗,加强亮细节;可增强对比度\
分段线性变换:\
1.对比度拉伸:提高灰度级的动态范围,改善对比度;\
2.灰度级分层:突出某区间灰度,其他位置可不变也可降级;\
3.比特平面分层:8bit灰度图分割成8个比特面,(左)高位表示主体信息,低位给出不同程度的细节
//动态范围=取值范围=最大值-最小值
== 直方图处理
直方图容器:$h(r_k) = n_k, quad k = 0, 1, 2, dots.c, L - 1$ ;
$n_k$是f中灰度为$r_k$的像素的数量 ; k越大越白\
直方图:对容器归一化$p(r_k) = frac(h(r_k), M N) = frac(n_k, M N)$\
无空间信息,不同图像可能直方图相似,同一图像切片的直方图有可加性;若一幅图像其像素占有全部可能的灰度级并且分布均匀，这样的图像灰度对比
度高、细节会相对明显
==== 均衡化
假设$s=T(r)$在$0 lt.eq r lt.eq L-1$，$T(r)$严格单调递增且$0 lt.eq T(r) lt.eq L-1$。\
//确保反函数存在,输入输出范围一样
变换前后的pdf为$p_r(r),p_s(s)$ \
若$T(r)$还可微，有$p_s (s) = p_r (r) lr(|frac(d r, d s)|)$
//结论：变换后的图像的灰度级s的概率密度函数ps(s)由输入图像的灰度级r的概率密度函数pr(r)，和所选择的变换函数T(r)确定。
*连续情况*$s = T(r) =(L - 1) integral_0^r p_r (w) d w$ 变换后$p_s=frac(1, L - 1)$完全平坦\
*离散情况*$s_k = T(r_k) =(L - 1) sum_(j = 0)^k p_r (r_j)= (L - 1) sum_(j = 0)^k frac(n_k, M N) $ 无法得到完全平坦的分布\
目的:使图像产生灰度级丰富且动态范围大的图像灰度;期望得到均匀分布直方图;数字图像均衡化只是连续情况的近似;简并:灰度级减少了（不同的灰度变换到同一灰度）
==== 匹配(规定化)
使得直方图变换到规定的分布;均衡可以看作是匹配的特例\
输入原始图$p_r(r)$，目标图像$p_z(z)$，求输入𝑟到输出𝑧的变换公式\
把原始图像和目标图像都用均衡化的作为桥梁\
连续：原图均衡化$s=T(r) =(L - 1) integral_0^r p_r (w) dif w$;目标图均衡化$s=G(z) =(L - 1) integral_0^z p_z (nu) dif nu$\
均衡化图求逆得到目标$z = G^(-1)(s) = G^(-1) [ T(r) ]$
离散：$q, k in [ 0, L - 1 ]$ $s_k=T(r_k) =(L - 1) sum_(j = 0)^upright(k) p_r (r_j)$ ; $s_k=G(z_q) =(L - 1) sum_(i = 0)^q p_z (z_i)$ ; $z_q = G^(-1)(s_k)$\
$s_k$定义域和值域都是离散且有限,可用一表格记录其对应关系，并采样遍历方式找到最优匹配值,无需求逆
==== 局部处理
图像/图像块(全局/局部)的统计距计算\
设$p(r_i) = frac(n_i, n), quad i = 0, 1, 2, . . ., L - 1$\
灰度级$r$相对于均值m的$n$阶中心矩为：$mu_n (r) = sum_(i = 0)^(L - 1)(r_i - m)^n p(r_i)$\
m是r的均值:$m = sum_(i = 0)^(L - 1) r_i p(r_i)$ 衡量明暗程度\
$n=2$为方差:$sigma^2 = mu_2 (r) = sum_(i = 0)^(L - 1)(r_i - m)^2 p(r_i)$ 衡量灰度变化的程度
局部直方图处理:设置一个函数,对满足特定的m和$sigma$的邻域进行变换,其他不变
== 空间滤波
=== 线性空间滤波
对于大小为$m times n$(行x列)的核，$m=2a+1$和$n=2b+1$,其中a和b是非负整数。\
w是个二维矩阵,左上角从(-a,-b)开始,f左上角从(0,0)开始\
$g(x, y) = sum_(s = - a)^a sum_(t = - b)^b w(s, t) f(x + s, y + t)$\
新像素是旧像素线性组合;核中心和原图左上角开始对齐运算//,行填充2a,列补2b
=== 空间相关与卷积
一维核旋转 180°相当于这个核绕相对于其轴进行翻转。\
二维旋转180°等效于核关于其一个轴翻转，然后关于另一个轴翻转。\
相关$(w star.stroked f)(x, y) = sum_(s = - a)^a sum_(t = - b)^b w(s, t) f(x + s, y + t)$\
卷积$(w star f)(x, y) = sum_(s = - a)^a sum_(t = - b)^b w(s, t) f(x - s, y - t)$ 等同于将核旋转180度后再做相关\
卷积满足交换，结合，分配律;相关只满足分配律\
N输出大小，W输入大小，P填充大小，S步长 F 卷积核大小\
$N = frac((W - F + 2 P), S) + 1$\
两个滤波器大小为$M times M$和$N times N$，卷积后的大小是$(M+N-1) times (M+N-1)$
=== 可分离滤波器核
大小为 $𝑚 times n$ 的滤波核可表示为两个向量的积 $w = w_1 w_2^T = w_1 star w_2$\
$w_1 w_2$为$m times 1$,$n times 1$列向量\
(一个列向量和一个行向量的积等于这两个向量的二维卷积)
//对于一个像素,要做mn次加法,而一个图像有MN个像素,一共做了MN(mn)次加法
可分离核执行卷积相对不可分离核执行卷积的计算优势:$C = frac(M N m n, M N(m + n)) = frac(m n, m + n)$\
可分离核条件：$ r a n k(w) = 1$\
分离方法： 在核w中找到任何一个非零元素$a$,值为$E$；提取$a$所在的列与行，形成列向量$c$和$r;$ ；$w_1=c$ , $w_2^T=r/ E$
=== 平滑（低通）空间滤波器
降低相邻灰度的急剧过度，以减少无关细节（噪声）；平滑通过对相邻像素求和（积分）实现. 归一化确保亮度不变 ; 低通滤波可去除“无关”细节：即比其核小很多的点/区域\
$g(x, y) = frac(sum_(s = - a t = - b)^a sum_(-b)^b w(s comma t) f(x + s comma y + t), sum_(s = - a t = - b)^a sum_(-b)^b w(s comma t))$
// #image("./img/常用低通核.png",height: 3%)\
$"盒式线性滤波"
1/9 times mat(
1, 1, 1;
1, 1, 1;
1, 1, 1;
)
"一般线性平滑"
1/16 times mat(
1, 2, 1;
2, 4, 2;
1, 2, 1;
)$
盒式滤波器:每个元素相同;核越大,对越多像素做平均,其平滑程度越明显，细节丢失越多;\
高斯核函数 $w(s, t) = G(s, t) = K e^(-frac(s^2 + t^2, 2 sigma^2))$ 一般选核大小奇数接近$ 6 sigma$ 对同一图像，高斯核越大越模糊 ; 圆对称：到中心点距离𝑟一样，则对应系数一样的;可分离：可写成两个一维的高斯分布相乘形式\
对比：高斯核更适合去噪和平滑处理;盒式核更适合锐化和边缘增强。
=== 锐化（高通）空间滤波器
凸显灰度的过渡部分，以增强图像中的细节。锐化用相邻像素差分（导数）来实现.\
一维差分 $frac(diff f, diff x) = f(x + 1) - f(x) quad frac(diff^2 f, diff x^2) = f(x + 1) + f(x - 1) - 2 f(x)$\
==== 拉普拉斯算子
连续：$nabla^2 f = frac(diff^2 f, diff x^2) + frac(diff^2 f, diff y^2)$\
离散：$nabla^2 f = [ f(x + 1, y) + f(x - 1, y) + f(x, y + 1) + f(x, y - 1) ] - 4 f(x, y)$\
常见拉普拉斯滤波器特点:1. 中心对称；2. 中间值的绝对值大； 3. 和为零。
// #image("./img/常见的拉普拉斯滤波器.png",height: 2%)\
$mat(
0, 1, 0;
1, -4, 1;
0, 1, 0;
)
mat(
1, 1, 1;
1, -8, 1;
1, 1, 1;
)
mat(
0, -1, 0;
-1, 4, -1;
0, -1, 0;
)
mat(
-1, -1, -1;
-1, 8, -1;
-1, -1, -1;
)
$
$g(x, y) =brace.l
mat(delim: #none, f(x comma y) - nabla^2 f(x comma y) comma, "当拉普拉斯滤波中心系数为负";
f(x comma y) + nabla^2 f(x comma y) comma, "当拉普拉斯滤波中心系数为正",)$
==== 钝化掩蔽和高提升滤波
用于增强图像的细节和边缘\
模糊图像$hat(f)(x,y)$ 模板$g_(m a s k)(x,y)=f(x,y)-hat(f)(x,y)$ 加权相加 $g(x,y)=f(x,y)+k g_(m a s k)(x,y)$\
k=1为钝化掩蔽 k>1为高提升滤波 k\<1不强调钝化模板的贡献
=== 低通、高通、带阻和带通滤波器
// #image("./img/lbq.png",height: 5%)
单位冲激中心和滤波器核中心重合\
低通 $l p(x comma y)$，高通 $h p(x comma y) = delta(x comma y) - l p(x comma y)$\
带阻 $b r(x comma y) = l p_1 (x comma y) + h p_2 (x comma y), = l p_1 (x comma y) + [ delta(x comma y) - h p_2 (x comma y) ]$，带通 $b p(x comma y) = delta(x comma y) - b r(x comma y) = delta(x comma y) - [ l p_1 (x comma y) + [ delta(x comma y) - l p_2 (x comma y) ] ]$