diff --git a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/CalcNum-merged.md b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/CalcNum-merged.md index e48141af..d2072811 100644 --- a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/CalcNum-merged.md +++ b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/CalcNum-merged.md @@ -151,12 +151,12 @@ Limiti di sequenze di numeri razionali che possono essere approssimate. Data una base di numerazione $\beta \geq 2$ posso prendere un numero reale tra 0 e 1 e le sequenze di cifre -$$R \iff \{d_i\}_{i=1,2,3....}, \quad d_i \in \{0,...,\beta -1\}$$ +$$\mathbb{R} \iff \{d_i\}_{i=1,2,3....}, \quad d_i \in \{0,...,\beta -1\}$$ ```ad-important title: Teorema Della Rappresentazione In Basi -Dato $x \in R \backslash \{0\}$ e data una base di numerazione $\beta \geq 2$ esiste un unico $p \in Z$ e una sequenza $\{d_i\}_{i=1,2,3,...}$ tali che: +Dato $x \in\mathbb{R}\backslash \{0\}$ e data una base di numerazione $\beta \geq 2$ esiste un unico $p \in Z$ e una sequenza $\{d_i\}_{i=1,2,3,...}$ tali che: 1. $d_i \in \{0,1,...,\beta - 1\}$ 2. $d_1 \neq 0$ @@ -199,8 +199,8 @@ Questi numeri __non sono uniformi__. Tra $\frac 12$ e $\frac 14$ e tra $\frac 12 ![[Pasted image 20230125111411.png]] -Data $S = \{x \in R : \omega \leq x \leq \Omega\}$ costruiamo una __funzione di rappresentazione__ -$$fl : R \to F \cup\{\pm \infty\}$$ +Data $S = \{x \in\mathbb{R}: \omega \leq x \leq \Omega\}$ costruiamo una __funzione di rappresentazione__ +$$fl :\mathbb{R}\to F \cup\{\pm \infty\}$$ Con una delle due regole, dato $x=\beta^p \sum_{i=1}^\infty {\beta^{-i}d_i} \in S$: @@ -258,7 +258,7 @@ Non seguono infatti: -Data una funzione razionale $f: R^2 \to R$ che sia $f = \frac pq$ con $p$ e $q$ polinomi. +Data una funzione razionale $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ che sia $f = \frac pq$ con $p$ e $q$ polinomi. Dall'analisi matematica sappiamo che $f$ è definita e differenziabile per $q \neq 0$ (assumendo che $p$ e $q$ siano primi). @@ -294,7 +294,7 @@ La situazione ideale è $|\varepsilon_{tot}| < u$, ma in pratica è sufficiente ```ad-important title: Teorema -Dato $x \in R^n \backslash \{0\}$ e $f : R^n \to R$ razionale con $f(x) \neq 0$, dove $\tilde x = fl(x)$, allora +Dato $x \in \mathbb{R}^n \backslash \{0\}$ e $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ razionale con $f(x) \neq 0$, dove $\tilde x = fl(x)$, allora $$\varepsilon_{TOT} = \varepsilon_{IN} + \varepsilon_{ALG} + \varepsilon_{IN}\varepsilon_{ALG}$$ @@ -392,8 +392,8 @@ La dipendenza continua dai dati è meno ovviamente importante: # Derivata Di Fréchet -$$f:R^n \to R$$ -$$Df(x_0) : R^2 \to R$$ +$$f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$$ +$$Df(x_0) : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$$ Se $x = (x_1,...,x_n), \quad x_i \neq 0, \quad f(x) \neq 0$ l'[[3. Errore Per Le Funzioni Razionali#Errore Inerente|errore inerente]] è: $$\varepsilon_{IN} \doteq c_1\varepsilon_1 + ... + c_n\varepsilon_n, \quad c_i = \frac {x_i}{f(x)}\frac {\partial f} {\partial x_i}(x), \quad \varepsilon_i = \frac {\tilde x_i - x_i}{x_i}$$ @@ -440,10 +440,10 @@ $$|\varepsilon_{IN}| = |\frac{x\varepsilon_x + y\varepsilon_y}{x + y}| \leq \fra Dati $p$ e $x$, calcolare $p(x)$ -- $R^n(K^n)$ vettori con $n$ componenti in $R(K)$ -- $R_n(x)(K_n(x))$ polinomi di grado al più $n$ con coefficienti reali -- $R^{nxm}(K^{nxm})$ matrici $n \times m$ con elementi in $R$ -- $R^{n_1 x n_2 x ... x n_l}$ tensore di $l$ dimensioni +- $\mathbb{R}^n(K^n)$ vettori con $n$ componenti in $\mathbb{R}(K)$ +- $\mathbb{R}_n(x)(K_n(x))$ polinomi di grado al più $n$ con coefficienti reali +- $\mathbb{R}^{nxm}(K^{nxm})$ matrici $n \times m$ con elementi in $\mathbb{R}$ +- $\mathbb{R}^{n_1 x n_2 x ... x n_l}$ tensore di $l$ dimensioni - $p(x) = a_0 + a_1 x + ... + a_n x^n$ In computer grafica quasi tutto dipende da delle curve, le superfici possono essere curve, ecc... @@ -712,9 +712,9 @@ $$\begin{cases}a_{1,1}x_1 +. .. a_{1,n}x_n=b_1 \\ a_{2,1}x_1 +. .. a_{2,n}x_n=b_ # Teorema Di Rouché-Capelli -Il sistema lineare $Ax = b$ ammette soluzione se e solo se $rango(A) = rango(A|b)$. +Il sistema lineare $Ax = b$ ammette soluzione se e solo se rango$rango(A) = rango(A|b)$. -Se esiste almeno una soluzione allora l'insieme delle soluzioni è un sottospazio affine di dimensione $n-rango(A)$. +Se esiste almeno una soluzione allora l'insieme delle soluzioni è un sottospazio affine di dimensione n-rango(A). $K^n$ spazio vettoriale @@ -759,7 +759,7 @@ $mn \quad rango(A)=rango(A|b)=n \iff$ la soluzione non è unica, anche se il sistema ammette una soluzione unica per un dato $b$, esiste $c: \forall \varepsilon >0$ il sistema $Ax=c+\varepsilon c$ non ammette soluzioni $\implies$ la soluzione non può dipendere in modo continuo dai dati -$$Im(A) =\{v \in K^n, v=Ax, x\in R^n\} \subseteq K^n$$ +$$Im(A) =\{v \in K^n, v=Ax, x\in \mathbb{R}^n\} \subseteq K^n$$ $$dim(Im(A))=rango(A)\leq n0$$ @@ -906,9 +906,9 @@ Ma $det(M_h)=det(N_h)$ per quanto detto prima, quindi il metodo non è applicabi Se $A$ è una matrice definita positiva allora la condizione del teorema è verificata -$A \in R^{nxn}$ è definita positiva se: +$A \in \mathbb{R}^{nxn}$ è definita positiva se: - $A^T=A$ (simmetrica) -- $v^T Av > 0$ se $v \in R^n \setminus \{0\}$ +- $v^T Av > 0$ se $v \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ Se $A$ è a dominanza diagonale allora la condizione del teorema è verificata @@ -1014,11 +1014,25 @@ $$ \end{bmatrix} -= \begin{bmatrix} +\begin{bmatrix} + +1&1&0\\ +1&1&1\\ + +0&1&1 + +\end{bmatrix} + += \begin{bmatrix} +2 & 2 & 1\\ +2 & 3 & 2\\ +1 & 2 & 2 \end{bmatrix} $$ + +Il risultato non è una matrice tridiagonale, quindi non è una sottoalgebra ``` ```ad-question @@ -1612,6 +1626,7 @@ $$p(x) = \sum_{i=1}^n {y_iL_i(x)}$$ ```ad-done title: Dimostrazione + 1. $L_i(x_j) = \frac{(x_j-x_0) ... (x_j-x_j)...(x_j - x_{i+1})}{...} = 0, \quad i \neq j$ $L_i(x_i) = \frac{(x_i - x_0)...(x_i - x_{i-1})(x_i - x_{i+1})}{(x_i - x_0)...(x_i - x_{i-1})(x_i - x_{i+1})} = 1, \quad i = j$ diff --git a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/CalcNum-merged.pdf b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/CalcNum-merged.pdf index fab36303..339f06b0 100644 Binary files a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/CalcNum-merged.pdf and b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/CalcNum-merged.pdf differ diff --git a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/2. Error Analysis.md b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/2. Error Analysis.md index 4133c59f..0189a5e1 100644 --- a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/2. Error Analysis.md +++ b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/2. Error Analysis.md @@ -41,12 +41,12 @@ Limiti di sequenze di numeri razionali che possono essere approssimate. Data una base di numerazione $\beta \geq 2$ posso prendere un numero reale tra 0 e 1 e le sequenze di cifre -$$R \iff \{d_i\}_{i=1,2,3....}, \quad d_i \in \{0,...,\beta -1\}$$ +$$\mathbb{R} \iff \{d_i\}_{i=1,2,3....}, \quad d_i \in \{0,...,\beta -1\}$$ ```ad-important title: Teorema Della Rappresentazione In Basi -Dato $x \in R \backslash \{0\}$ e data una base di numerazione $\beta \geq 2$ esiste un unico $p \in Z$ e una sequenza $\{d_i\}_{i=1,2,3,...}$ tali che: +Dato $x \in\mathbb{R}\backslash \{0\}$ e data una base di numerazione $\beta \geq 2$ esiste un unico $p \in Z$ e una sequenza $\{d_i\}_{i=1,2,3,...}$ tali che: 1. $d_i \in \{0,1,...,\beta - 1\}$ 2. $d_1 \neq 0$ @@ -89,8 +89,8 @@ Questi numeri __non sono uniformi__. Tra $\frac 12$ e $\frac 14$ e tra $\frac 12 ![[Pasted image 20230125111411.png]] -Data $S = \{x \in R : \omega \leq x \leq \Omega\}$ costruiamo una __funzione di rappresentazione__ -$$fl : R \to F \cup\{\pm \infty\}$$ +Data $S = \{x \in\mathbb{R}: \omega \leq x \leq \Omega\}$ costruiamo una __funzione di rappresentazione__ +$$fl :\mathbb{R}\to F \cup\{\pm \infty\}$$ Con una delle due regole, dato $x=\beta^p \sum_{i=1}^\infty {\beta^{-i}d_i} \in S$: diff --git a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/3. Errore Per Le Funzioni Razionali.md b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/3. Errore Per Le Funzioni Razionali.md index 4a8b463b..904c012d 100644 --- a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/3. Errore Per Le Funzioni Razionali.md +++ b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/3. Errore Per Le Funzioni Razionali.md @@ -1,6 +1,6 @@ -Data una funzione razionale $f: R^2 \to R$ che sia $f = \frac pq$ con $p$ e $q$ polinomi. +Data una funzione razionale $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ che sia $f = \frac pq$ con $p$ e $q$ polinomi. Dall'analisi matematica sappiamo che $f$ è definita e differenziabile per $q \neq 0$ (assumendo che $p$ e $q$ siano primi). @@ -36,7 +36,7 @@ La situazione ideale è $|\varepsilon_{tot}| < u$, ma in pratica è sufficiente ```ad-important title: Teorema -Dato $x \in R^n \backslash \{0\}$ e $f : R^n \to R$ razionale con $f(x) \neq 0$, dove $\tilde x = fl(x)$, allora +Dato $x \in \mathbb{R}^n \backslash \{0\}$ e $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ razionale con $f(x) \neq 0$, dove $\tilde x = fl(x)$, allora $$\varepsilon_{TOT} = \varepsilon_{IN} + \varepsilon_{ALG} + \varepsilon_{IN}\varepsilon_{ALG}$$ diff --git "a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/5. Derivata di pi\303\271 variabili.md" "b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/5. Derivata di pi\303\271 variabili.md" index a25b2bc9..7e8ed1ef 100644 --- "a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/5. Derivata di pi\303\271 variabili.md" +++ "b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/5. Derivata di pi\303\271 variabili.md" @@ -1,7 +1,7 @@ # Derivata Di Fréchet -$$f:R^n \to R$$ -$$Df(x_0) : R^2 \to R$$ +$$f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$$ +$$Df(x_0) : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$$ Se $x = (x_1,...,x_n), \quad x_i \neq 0, \quad f(x) \neq 0$ l'[[3. Errore Per Le Funzioni Razionali#Errore Inerente|errore inerente]] è: $$\varepsilon_{IN} \doteq c_1\varepsilon_1 + ... + c_n\varepsilon_n, \quad c_i = \frac {x_i}{f(x)}\frac {\partial f} {\partial x_i}(x), \quad \varepsilon_i = \frac {\tilde x_i - x_i}{x_i}$$ diff --git a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/6. Valutazione di un polinomio.md b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/6. Valutazione di un polinomio.md index 188cafb9..d98e04c8 100644 --- a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/6. Valutazione di un polinomio.md +++ b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/6. Valutazione di un polinomio.md @@ -1,10 +1,10 @@ Dati $p$ e $x$, calcolare $p(x)$ -- $R^n(K^n)$ vettori con $n$ componenti in $R(K)$ -- $R_n(x)(K_n(x))$ polinomi di grado al più $n$ con coefficienti reali -- $R^{nxm}(K^{nxm})$ matrici $n \times m$ con elementi in $R$ -- $R^{n_1 x n_2 x ... x n_l}$ tensore di $l$ dimensioni +- $\mathbb{R}^n(K^n)$ vettori con $n$ componenti in $\mathbb{R}(K)$ +- $\mathbb{R}_n(x)(K_n(x))$ polinomi di grado al più $n$ con coefficienti reali +- $\mathbb{R}^{nxm}(K^{nxm})$ matrici $n \times m$ con elementi in $\mathbb{R}$ +- $\mathbb{R}^{n_1 x n_2 x ... x n_l}$ tensore di $l$ dimensioni - $p(x) = a_0 + a_1 x + ... + a_n x^n$ In computer grafica quasi tutto dipende da delle curve, le superfici possono essere curve, ecc... diff --git a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/a0. Sistemi lineari.md b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/a0. Sistemi lineari.md index c26f8df6..a7e0be3e 100644 --- a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/a0. Sistemi lineari.md +++ b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/a0. Sistemi lineari.md @@ -6,7 +6,7 @@ $$\begin{cases}a_{1,1}x_1 +. .. a_{1,n}x_n=b_1 \\ a_{2,1}x_1 +. .. a_{2,n}x_n=b_ # Teorema Di Rouché-Capelli -Il sistema lineare $Ax = b$ ammette soluzione se e solo se rango(A) = rango(A|b). +Il sistema lineare $Ax = b$ ammette soluzione se e solo se rango$rango(A) = rango(A|b)$. Se esiste almeno una soluzione allora l'insieme delle soluzioni è un sottospazio affine di dimensione n-rango(A). @@ -30,7 +30,7 @@ L'insieme $W=\{v+v_0, v \in V, v_0 \in K^n\}$ è un sottospazio affine di $K^n$ - I sottospazi affini di dimensione 0 sono detti punti (non sono sottospazi) ``` -$Ax=b \iff c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n=b \iff$ $b$ è combinazione lineare delle colonne di $A$ $\iff$ rango(A)=rango(A|b) +$Ax=b \iff c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n=b \iff$ $b$ è combinazione lineare delle colonne di $A$ $\iff rango(A)=rango(A|b)$ $$|c_1|...|c_n|=\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$$ @@ -53,7 +53,7 @@ $mn \quad rango(A)=rango(A|b)=n \iff$ la soluzione non è unica, anche se il sistema ammette una soluzione unica per un dato $b$, esiste $c: \forall \varepsilon >0$ il sistema $Ax=c+\varepsilon c$ non ammette soluzioni $\implies$ la soluzione non può dipendere in modo continuo dai dati -$$Im(A) =\{v \in K^n, v=Ax, x\in R^n\} \subseteq K^n$$ +$$Im(A) =\{v \in K^n, v=Ax, x\in \mathbb{R}^n\} \subseteq K^n$$ $$dim(Im(A))=rango(A)\leq n0$$ diff --git a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/a1. Algoritmo di Gauss.md b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/a1. Algoritmo di Gauss.md index 57c6d0be..4659e82e 100644 --- a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/a1. Algoritmo di Gauss.md +++ b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/a1. Algoritmo di Gauss.md @@ -65,9 +65,9 @@ Ma $det(M_h)=det(N_h)$ per quanto detto prima, quindi il metodo non è applicabi Se $A$ è una matrice definita positiva allora la condizione del teorema è verificata -$A \in R^{nxn}$ è definita positiva se: +$A \in \mathbb{R}^{nxn}$ è definita positiva se: - $A^T=A$ (simmetrica) -- $v^T Av > 0$ se $v \in R^n \setminus \{0\}$ +- $v^T Av > 0$ se $v \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ Se $A$ è a dominanza diagonale allora la condizione del teorema è verificata diff --git a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/a2. Matrici tridiagonali.md b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/a2. Matrici tridiagonali.md index 54602750..951e40c1 100644 --- a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/a2. Matrici tridiagonali.md +++ b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/a2. Matrici tridiagonali.md @@ -25,11 +25,25 @@ $$ \end{bmatrix} -= \begin{bmatrix} +\begin{bmatrix} + +1&1&0\\ + +1&1&1\\ +0&1&1 + +\end{bmatrix} + += \begin{bmatrix} +2 & 2 & 1\\ +2 & 3 & 2\\ +1 & 2 & 2 \end{bmatrix} $$ + +Il risultato non è una matrice tridiagonale, quindi non è una sottoalgebra ``` ```ad-question diff --git a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/a7. Interpolazione.md b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/a7. Interpolazione.md index 5517f89a..af4d9392 100644 --- a/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/a7. Interpolazione.md +++ b/triennale/Anno 2/Calcolo Numerico/argomenti/a7. Interpolazione.md @@ -112,7 +112,7 @@ $$p(x) = \sum_{i=1}^n {y_iL_i(x)}$$ ```ad-done title: Dimostrazione -collapse: true + 1. $L_i(x_j) = \frac{(x_j-x_0) ... (x_j-x_j)...(x_j - x_{i+1})}{...} = 0, \quad i \neq j$