typos

Author: ggruszczynski

metnum_lab4.md

@@ -38,6 +38,7 @@ Aby nie pomylić się w następnych krokach, należy najpierw zrefaktoryzować (
 - Zmienna `fix` jest globalna.
 
 # Element po elemencie
+
 Skopiuj funkcję do mnożenia macierz-wektor i nazwij kopię `SMult`.
 W funkcji `SMult` będziemy chcieli napisać funkcję mnożącą przez globalną macierz sztywności $S$ nie używając samej tej macierzy. Chcemy wykonać operację $r=Sx$, tzn: $r_i = \sum_jS_{ij}x_j$.
 
@@ -53,6 +54,7 @@ Analogicznie jeśli dodamy do elementu $S_{ij}$ liczbę $w$, to tak jak byśmy d
 Jako, że macierz $S$ konstruujemy właśnie przez dodawanie do kolejnych jej elementów, możemy całość mnożenia przez nią zapisać w powyższej postaci.
 
 ### Zadanie
+
 Przekopiuj fragment kodu funkcji `main` odpowiedzialny za konstrukcję macierzy $S$. Następnie, każde wystąpienie
 
 `S[i,j] += cos;`
@@ -67,14 +69,17 @@ Nawiasem mówiąc, takie rozwiązanie może się okazać nieco bardziej wydajne
 Wynika to z faktu, że korzystając z alokowanego na stosie bufora dokonujemy mniejszej liczby dostępów (operacji `+=`) do tablicy `r`, która zaalokowana jest na stercie.
 
 ### Zadanie
+
 Co z częścią, która zamieniała wybrane wiersze na wiersze macierzy diagonalnej?
 Jeśli w macierzy $S$ $i$-ty wiersz zamienimy na same zera i $1$ na przekątnej, to tak jak byśmy postawili $r_i = x_i$.
 Zamień pętlę wycinającą $i$ty wiersz, na `r[i]=x[i]`
 
 ### Zadanie 8
+
 Jeśli nie zrobiłeś tego w poprzednim ćwiczeniu, napisz trywialny preconditioner `Precond_I(int N, double **A, double *r, double *p)` przepisujący tablicę reszt wskazywaną przez `r` na tablicę poprawek wskazywaną przez `p`.
 
 # A teraz na poważnie
+
 Na tym etapie nigdzie w kodzie nie potrzebujemy macierzy $S$.
 Możemy ją całkowicie wyeliminować.
 Funkcję `Solve` będziemy chcieli jednak używać dla różnych macierzy --- dlatego jako argument, zamiast macierzy `double ** A` będziemy przekazywać funkcję mnożenia `void (*mult)(double *, double *)`.
@@ -86,7 +91,10 @@ A w miejscu mnożenia przez macierz $r=Ax$ będziemy mieli `mult(x,r);`. Teraz f
 
 Na koniec możesz spróbować przerobić funkcję `Solve` tak, aby także preconditioner przyjmowany był jako argument (wskaźnik do funkcji) i wywołać ją z preconditionerem Jacobiego.
 
+Pamiętaj aby *zamurować* stopnie swobody.
+
 # Równoległość\*
+
 W tej części laboratorium zajmiemy się paralelizacją (zrównolegleniem) napisanego dotychczas kodu.
 Plik nagłówkowy z funkcjami ułatwiającymi pisanie równoległego kodu:
 

metnum_lab7.md

@@ -13,30 +13,34 @@ Na dzisiejszych zajęciach dobierzemy wektor grubości elementów $\theta=\text{
 A dokładniej: macierz sztywności jest sumą macierzy elementów przemnożonych przez elementy $\theta$. Dla późniejszej poprawy zbieżności dołożymy potęgę $\gamma=3$ do tej zależności:
 \[S(\theta) = \sum_i\theta_k^\gamma K^k\]
 
-Będziemy chcieli zoptymalizować przesunięcie węzła w którym przyłożyliśmy siłę. Stwórzmy wektor $g$, który ma $-1$ w miejscu tego przemieszczenia, a resztę wartości ma zerową. Teraz nasza funkcja celu to $J = -\langle x, g \rangle$. Potraktujmy nasze równanie statyki jako więz i rozpiszmy funkcję celu powiększoną o mnożniki Lagrange:
-\[-\sum_i x_i g_i  + \sum_j\lambda_j (\sum_iS_{ji}(\theta)x_i - F_j)\]
+Będziemy chcieli zoptymalizować przesunięcie węzła w którym przyłożyliśmy siłę. Stwórzmy wektor wag $g$, który ma $-1$ w miejscu tego przemieszczenia, a resztę wartości ma zerową. Teraz nasza funkcja celu to $J = -\langle x, g \rangle$. Potraktujmy nasze równanie statyki jako więz i rozpiszmy funkcję celu powiększoną o mnożniki Lagrange'a:
+\[L = -\sum_i x_i g_i  + \sum_j\lambda_j (\sum_iS_{ji}(\theta)x_i - F_j)\]
 Optymalne rozwiązanie powinno zerować pochodne po $x$, $\lambda$ i $\theta$:
 \[\begin{cases}
--g_i + \sum_j\lambda_j S_{ji} (\theta) &= 0\\
 \sum_i S_{ji}(\theta)x_i - F_j &= 0\\
+-g_i + \sum_j\lambda_j S_{ji} (\theta) &= 0\\
 \sum_{ij}\lambda_j \frac{\partial}{\partial \theta_k}S_{ji}(\theta)x_i &= 0
 \end{cases}\]
 
-Drugie równanie to nasze równanie statyki. Pierwsze równanie to równanie sprzężone (adjoint):
+Pierwsze równanie to równanie statyki, opisuje ograniczenia jakie muszą być spełnione.
+
+Drugie równanie to równanie sprzężone (adjoint):
 \[S^T(\theta)\lambda = g\]
-Trzecie równanie to równanie ma gradient funkcji celu względem parametrów:
-\[\frac{d}{d\theta_k}J = \sum_{ij}\lambda_j \frac{\partial}{\partial \theta_k}S_{ji}(\theta)x_i = \gamma\theta_k^{\gamma-1}\sum_{ij}K^k_{ji}(\theta)\lambda_jx_i\]
+Zwróćmy uwagę, że w punkcie optymalnym kierunek gradientu funkcji celu jest równoległy do kierunku gradientu ograniczeń, $\nabla_x J || \nabla_x \lambda (S(\theta)x - F)$. Mnożniki Lagrange'a, $\lambda_j$, mogą być więc interpretowane jako *intesywność kary* zmuszającej do spełnienia $j$-tego ograniczenia.
 
+Trzecie równanie to równanie na gradient funkcji Lagrange'a względem parametrów $\theta$:
+\[\frac{d}{d\theta_k} L = \sum_{ij}\lambda_j \frac{\partial}{\partial \theta_k}S_{ji}(\theta)x_i = \gamma\theta_k^{\gamma-1}\sum_{ij}K^k_{ji}(\theta)\lambda_jx_i\]
 
-### Zadanie
+
+### Zadanie 1
 
 Wprowadź w funkcji mnożącej przez macierz sztywności `SMult` parametr $\gamma=3$ (`gamma`) podnosząc `thick` do potęgi `gamma`. Zdefiniuj zmienną `frac = 0.5` i ustaw początkowe $\theta$ (`thick`) na równe `frac`.
 
-### Zadanie
+### Zadanie 2
 
 Zdefiniuj wektor $g$ i rozwiąż równanie sprzężone (zauważ że $S$ jest symetryczna).
 
-### Zadanie
+### Zadanie 3
 
 Zdefiniuj funkcję `calc_grad(int n, double * x, double * lambda, double * grad)`. Skopiuj do niej zawartość funkcji mnożącej `SMult` i zmień:
 
@@ -54,38 +58,32 @@ Gradient wskazuje nam w jakim kierunku powinniśmy przesuwać nasze wartości pa
 
 `thick[i] += grad[i];`
 
-### Zadanie
+### Zadanie 4
 
 Dodaj gradient do parametrów `thick[i] += grad[i];`. Iteruj taką procedurę, oglądając wyniki.
 
-
 Tak ustawiony problem optymalizacyjny jest nieograniczony. Chcemy jednak uzyskać najmniejsze ugięcie przy ustalonej ,,masie'' belki. Tzn: chcemy zachować sumę parametrów $\theta$: $\sum_i\text{thick[i]} = \text{frac*mx*my}$. Możemy łatwo nałożyć ten więz na `grad`:
 
-
-### Zadanie
+### Zadanie 5
 
 Odejmij od wektora `grad` jego sumę.
 
-
 W kolejnych iteracjach grad ma różną skalę. Na początku jest duży, a później mały. Typową techniką w takich wypadkach jest normalizacja:
 
-
-### Zadanie
+### Zadanie 6
 
 Zdefiniuj zmienną `move = 0.05`. Podziel `grad` przez jego największy element i pomnóż przez `move*5`.
 
+Na nasz projekt musimy jednak narzucić bardziej istotne warunki. Po pierwsze nigdzie grubość nie może przekroczyć $1$, i musi być powyżej $0$. Ponadto zazwyczaj chcemy, by zmiana w pojedynczej iteracji nie przekroczyła `move`. Te warunki dość trudno pogodzić z warunkiem stałej sumy elementów.
 
-Na nasz projekt musimy jednak narzucić bardziej istotne warunki. Po pierwsze nigdzie grubość nie może przekroczyć $1$, i musi być powyżej $0$. Ponadto zazwyczaj chcemy, by zmiana w pojedynczej iteracji nie przekroczyła `move`. Te warunki dość trudno pogodzić z warunkiem stałej sumy elementów. 
-
-
-### Zadanie
+### Zadanie 7
 
 Wynik dodania gradientu do parametrów wstaw do nowego wektora `nt[i] = thick[i] + grad[i];`. Dla danego parametru `scale` oblicz `thick[i] = scale * nt[i];`. Na tak obliczone `thick` narzuć powyżej opisane 4 warunki, obcinając za duże, bądź za małe wartości.
 
-### Zadanie
+### Zadanie 8
 
 Zsumuj wartości `thick` po poprzedniej procedurze. Dobierz `scale` metodą bisekcji tak by $\sum_i\text{thick[i]} = \text{frac*mx*my}$.
 
-### Zadanie
+### Zadanie 9
 
 Przetestuj program dla różnych obciążeń, ustawień parametru `move` i ustawień maksymalnej liczby iteracji w metodze gradientów sprzężonych.