5-numeric.html

<section class="plan center">
		<h5>New discrete beam element</h5>
		<ul>
			<li>Introduction to the concept</li>
			<li>Design process : overview</li>
			<hr>
			<li>Beam model : variational approach</li>
			<li>Beam model : equilibrium approach</li>
			<li  class="highlight">New discrete beam element</li>
			<hr>
			<li>Implementation & test case</li>
		</ul>
		<aside class="notes">
			Cet élément est construit directement à partir des équations de Kirchhoff telles que présentées dans la partie précédente, et qu'on aura discrétisées.
			<hr>
			Grâce à une cinématique que j'ai appelée bi-arc, il permet de rendre compte des sauts d'efforts internes lorsque le modèle est soumis à des charges concentrées ou à des sauts de propriétés matérielles.
			<hr>
			Ce qui répond ainsi aux dernières limitations identifiées.
		</aside>
	</section>

<!-- 
=============================================================================================== 
	Curvature
=============================================================================================== 
-->

<section class="">
	<h5 class="">Previous Works</h5>
	<p>Discrete Curvature (DDG) <br>
		<br> <cite>Vouga, Lectures in discrete differential geometry, 2014</cite>
		<br> <cite>Romon, Introduction à la géométrie différentielle discrète, 2013</cite>
		<br> <cite>Hoffmann, Math-for-Industry lecture note series, 2008</cite>
		<br> <cite>Bobenko, Discrete differential geometry, 2007</cite>
	</p>
	<hr>
	<div class="">
	<ul>
		<li>Discrete Curvature > <mark>ambiguous</mark></li>
		<li>Which one best suits our needs ?</li>
		<li><mark>Bending energy</mark> benchmark > $\int \kappa^2$</li>
	</ul>
	</div>
	<aside class="notes">
		La construction de cet élément s'est faite à partir d'une discussion approfondie sur la notion de courbure discrète. C'est elle qui nous a servi de base à la mise au point de la cinématique bi-arc.
		<hr>
		En passant au discret la définition de la courbure perd son univocité et il faut donc faire un choix.
		<hr>
		Les éléments de comparaison existant dans la littérature sont peu nombreux et portent essentiellement sur les aspects géométriques.
		<hr>
		Au cours de notre travail, nous avons fait un inventaire des définitions existantes. Nous avons étendues ces définitions aux extrémités des courbes, ce qui est essentiel pour la modélisations des conditions aux limites. 
		<hr>
		Enfin, nous avons proposé de les comparer, par leur capacité à représenter l'énergie de flexion pour certaines formes typiques de tiges élastiques (le cercle et l'elastica)
	</aside>
</section>

<section class="plan center">
	<strong>Discrete Curvature</strong>
	<aside class="notes">
		Je vais présenter brièvement les résultats de cette discussion, avant de passer à la présentation de l'élément bi-arc.
	</aside>
</section>

<section class="">
	<h5 class="">Discrete Curvature</h5>
	<img class="imgfragment" src="./img/eq/discrete_curvature_1.svg" width="80%"/>
	<div>
		<span class="imgsrc" data-src="./img/eq/discrete_curvature_1.svg" data-fragment-index="0"></span>
		<span class="fragment imgsrc" data-src="./img/eq/discrete_curvature_2.svg" data-fragment-index="1"></span>
	</div>
	<aside class="notes">
		La courbure d'une courbe discrete est construite par analogie avec celle d'une courbre continue à partir d'un cercle osculateur.
		<hr>
		Ce cercle peut être construit de diverses manières. J'en présente les trois principales :
		<ul>
			<li>L'unique cercle qui passe par 3 sommets successifs.</li>
			<li>L'unique cercle tangent à 3 arrêtes successives, mais qui n'a d'existence possible que si les arrêtes sont coplanaires, c'est à dire si la courbe est plane.</li>
			<li>On peut relacher cette contrainte de planarité en construisant le cercle bi-tangent à deux arrêtes successives, mais alors ce cercle n'est pas unique et dépend de la distance entre le sommet et le point de tangence. On perd donc l'univocité de la définition.</li>
		</ul>
	</aside>
</section>
<section class="">
	<h5 class="">Discrete Curvature</h5>
	<ul>
		<li>Edge-based curvature > diverges when <mark>curve kinks</mark></li>
		<li>Interesting for penalyzing kinked configurations</li>
		<li>Such configurations are not likely to arise</li>
	</ul>
	<hr style="margin-bottom: -0.5em;">
	<table class="imgtable">
	<tr>
		<td height="400px"><img data-src="./img/eq/curvature_vertex.gif"></td>
		<td height="400px"><img data-src="./img/eq/curvature_edge.gif"></td>
	</tr>
	<tr>
		<td><p>$\kappa_1$ : circumscribed osculating circle</p></td>
		<td><p>$\kappa_3$ : inscribed osculating circle</p></td>
	</tr>
	<!-- <tr style="height:15px;"></tr> -->
	<tr style="border-top:0px solid black">
		<td><img data-src="./img/eq/curvature_vertex.svg" width="100%"></td>
		<td><img data-src="./img/eq/curvature_edge.svg" width="100%"></td>
	</tr>
	</table>
	<aside class="notes">
		L'intéret de la courbure par les arrêtes est qu'elle affiche un bon comportement lorsque la courbe se replie sur elle même. Le rayon du cercle tend vers 0 et donc la courbure tend vers l'infini au fur et à mesure que l'on referme le compas.
		<hr>
		Ce n'est pas le cas de la courbure par les sommets dont la courbure tend vers une valeur finie, ce qui n'est pas le comportement souhaité.
	</aside>
</section>
<section class="">
	<h5 class="">Discrete Curvature</h5>
	<img data-src="./img/eq/discrete_curvature_3.svg" width="70%"/>
	<aside class="notes">
		Sur ce graphique on a tracé les deux courbures précédentes en fonction de l'angle d'ouverture du compas.
		<!-- <hr>
		On a également étudié la sensibilité des définitions vis à vis à vis de la différence de longueur entre les arrêtes, noté alpha. -->
		<hr>
		On retrouve la différence de comportement pour des angles d'ouvertures faibles (ici sur la partie droite du graphique).
		<hr>
		Tandis que pour des angles d'ouverture proche de pi les deux courbures se comportent sensiblement de la même façon (ici sur la partie gauche du graphique).
	</aside>
</section>

<section class="">
	<h5 class="">Bending Energy</h5>
	<p>The vertex-based curvature is more accurate in terms of bending energy representativity</p>
	<!-- <ul>
		<li>The vertex-based curvature is more accurate in terms of bending energy representativity</li>
	</ul> -->
	<hr>
	<table class="imgtable">
		<tr style="border-bottom:1px solid black">
			<td style="border-right:1px solid black"><img data-src="./img/eq/discrete_curvature_arch_1.svg"></td>
			<td><img data-src="./img/eq/discrete_curvature_arch_2.svg"></td>
		</tr>
		<tr style="border-top:0px solid black">
			<td style="border-right:1px solid black"><img data-src="./img/eq/discrete_curvature_elastica_1.svg"></td>
			<td><img data-src="./img/eq/discrete_curvature_elastica_2.svg"></td>
		</tr>
	</table>
	<aside class="notes">
		Enfin, nous avons comparé ces deux types de courbures vis à vis de leur capacité à représenter l'énergie de flexion en fonction de la finesse de la discrétisation :
		<ul>
			<li>Sur le cas typique du cercle d'adord.</li>
			<li>Puis sur le cas typique de l'élastica ensuite.</li>
		</ul>
		<hr>
		Dans le cas du cercle, l'énergie de flexion discrète basée la courbure par les sommets (ICI A GAUCHE), approche plus rapidement la valeur théorique que son homologue basée sur la courbure par les arêtes (ICI A DROITE). L'écart relatif entre l'energie discrète et l'énergie théorique est donnée en pourcentage.
		<hr>
		Nous observons le même phénomène pour le cas de l'elastica.
		<hr>
		C'est donc la courbure par les sommets que nous retiendrons pour notre modèle.
	</aside>
</section>



<!-- 
=============================================================================================== 
	Tangent
=============================================================================================== 
-->

<section class="plan center">
	<strong>Discrete Tangent</strong>
	<aside class="notes">
		Nous allons voir maintenant comment la courbure par les sommets conduit naturellement à la définition du vecteur tangent.
		<hr>
		Et comment réciproquement, en jouant sur l'orientation du vecteur tangent on peut modéliser une discontinuité de courbure locale au niveau d'un sommet en faisant apparaitre un bi-arc.
	</aside>
</section>

<section class="">
<h5 class="">Tangent Vector</h5>
<ul>
	<li>Osculating circle at $\mathbf{x}_i$ > $\mathbf{\kappa b}_i\;,\;\mathbf{t}_i$</li>
	<li>Curvature is $\mathcal{C}^0$ in the vicinity of $\mathbf{x}_i$</li>
</ul>
<hr>
	<!-- <table class="imgtable">
		<tr style="border-bottom:1px solid black">
			<td><img data-src="./img/eq/tangent_circumscribed_current.svg"></td>
			<td><img data-src="./img/eq/tangent_circumscribed_ends.svg"></td>
		</tr>
		<tr style="border-top:0px solid black">
			<td style="border-right:1px solid black"><img data-src="./img/eq/discrete_curvature_elastica_1.svg"></td>
			<td><img data-src="./img/eq/discrete_curvature_elastica_2.svg"></td>
		</tr>
	</table> -->
	<img class="imgfragment" src="./img/eq/tangent_circumscribed_current.svg" width="65%"/>
	<div>
		<span class="imgsrc" data-src="./img/eq/tangent_circumscribed_current.svg" data-fragment-index="0"></span>
		<span class="fragment imgsrc" data-src="./img/eq/tangent_circumscribed_ends.svg" data-fragment-index="1"></span>
	</div>
	<aside class="notes">
		Par définition le cercle osculateur est celui qui approche le mieu la courbe.
		Il est donc naturel de définir le vecteur tangent à la coubre discrète, comme le vecteur tangent à son cercle osculateur.
		<!-- <hr>
		En faisant se raisonnement nous avons supposé que la courbure était continue au voisinage de Xi. -->
		<hr>
		Cette approche peut être étendue aux extrémités de la courbe en définissant le cercle osculateur comme l'unique cercle passant par deux sommets voisins et une tangente.
		<hr>
		Ici, on retombe sur l'indétermination classique en bout de poutre. Si le moment est préscrit, alors c'est la tangente qui est donnée par la courbure. Si la tangente est préscrite, alors c'est le moment qui est donné par la courbure.
	</aside>
</section>

<section class="">
		<h5 class="">TANGENT</h5>
		<ul>
			<li>Definitions agree > $\mathbf{\kappa b}_i = \mathbf{\kappa b}_i^+ = \mathbf{\kappa b}_i^-$ </li>
			<li>Tangent vector > control local curvature with biarc</li>
		</ul>
		<hr>
		<img class="imgfragment" src="./img/eq/tangent_circumscribed_current.svg" width="65%"/>
		<div>
			<span class="imgsrc" data-src="./img/eq/tangent_circumscribed_current.svg" data-fragment-index="0"></span>
			<span class="fragment imgsrc" data-src="./img/eq/tangent_circumscribed_current_a.svg" data-fragment-index="1"></span>
			<span class="fragment imgsrc" data-src="./img/eq/tangent_circumscribed_current_b.svg" data-fragment-index="2"></span>
			<span class="fragment imgsrc" data-src="./img/eq/tangent_circumscribed_current_c.svg" data-fragment-index="3"></span>
		</div>
		<aside class="notes">
			Enfin, on remarquera que ces 3 façons de décrire la courbure sont équivalentes en partie courante.
			En effet :
			<ul>
				<li>le cercle défini par les sommets xi-1, xi et xi+1;</li>
				<li>le cercle défini par ti et les sommets xi-1 et xi;</li>
				<li>et le cercle défini par ti et les sommets xi et xi+1;</li>	
			</ul>
			sont identiques.
		</aside>
	</section>

<section class="">
	<h5 class="">BIARC</h5>
	<ul>
		<li>$\mathbf{\kappa b}_i^-(\mathbf{t}_i^*) \neq \mathbf{\kappa b}_i^+(\mathbf{t}_i^*) \neq \mathbf{\kappa b}_i$ </li>
		<li>Tangent vector > control local curvature with biarc</li>
	</ul>
	<hr>
	<object class="svgfragment" type="image/svg+xml" data="img/eq/tangent_circumscribed_current_biarc.svg" width="65%"></object>
	<aside class="notes">
		CLICKER
		<hr> On comprend alors qu'en jouant sur la tangent ti, on pourra créer une discontinuité de courbure en xi, et c'est ce mécanisme qui est au coeur de notre nouvel élément que je peux désormais présenter.
	</aside>
</section>


<!-- 
=============================================================================================== 
	Discrete Beam
=============================================================================================== 
-->

<section class="plan center">
	<strong>Discrete Biarc Beam Element</strong>
	<aside class="notes">
	</aside>
</section>

<section class="">
	<h5 class="">Discrete Beam</h5>
	<ul>
		<li>Discrete centerline > $\mathbf{x}_i$</li>
		<li>Discrete material frame > $\{\mathbf{d}_3,\mathbf{d}_1,\mathbf{d}_2\}_i$</li>
		<li>Segment > $\{\mathbf{x}_{2i},\mathbf{x}_{2i+1},\mathbf{x}_{2i+2}\}$</li>
	</ul>
	<hr>
	<object class="svgfragment" type="image/svg+xml" data="img/eq/biarc_1.svg" width="70%"></object>
	
	<!-- <img data-src="./img/eq/biarc_1.svg" width="65%"> -->
	<aside class="notes">
		De manière analogue au cas continu, la poutre est représentée par une fibre neutre discrete définie comme une suite de noeuds xi, auxquels sont attachés des répères matériels.
		<hr>
		La différence c'est que nous allons considérer les noeuds par groupes de 3 pour former des segments (CLICKER - repérés par les triangles gris). Chaque segments sera composé de deux noeuds poignée à ses extrémitées et d'un noeud fantôme en son milieu. 
		<hr>
		Ce noeud supplémentaire va permettre d'enrichir l'élement. Cependant, il restera inaccessible à l'utilisateur, d'où son nom.
	</aside>
</section>

<section class="">
	<h5 class="">Discrete Beam</h5>
	<ul>
		<li>Uniform properties > $E_i,\,G_i,\,S_i,\,I_1,\,I_2,\,J_i$</li>
		<li>Uniform external distributed loads > $\mathbf{f}^{ext}_i,\;\mathbf{m}^{ext}_i$</li>
		<li>External concentrated loads at handles > $\mathbf{F}^{ext}_{2i},\;\mathbf{M}^{ext}_{2i}$</li>
	</ul>
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/biarc_1.svg" width="70%">
	<aside class="notes">
		Les propriétés matérielles et de section sont supposées uniformes sur chaque segment mais peuvent différer d'un segment à l'autre.
		<hr>
		Les segments peuvent subir des efforts distribués ...
		<hr>
		tandis que les noeuds poignée peuvent subir des efforts concentrés (mais pas les noeuds fantômes).
		<hr>
		Cette représentation permet une définition rigoureuse de l'ensemble des paramètres descriptifs du système, tout en respectant leur nature propre ...
		<hr>
		C'est à dire que les grandeures locales sont définies aux noeuds, tandis que les grandeurs distribuées sont définies sur les arrêtes.
	</aside>
</section>


<!-- 
=============================================================================================== 
	Internal Forces
=============================================================================================== 
-->

<section class="plan center">
	<strong>Internal Forces and Moments</strong>
	<aside class="notes">
		Le calcul des efforts internes se conduit ensuite naturellement à partir du calcul des déformations et des courbures matérielles discrètes.
	</aside>
</section>
	
<section class="">
	<h5 class="">Axial Behaviour</h5>
	<ul>
		<li>Axial extension > $\epsilon_i$</li>
		<li>Axial force > $\mathbf{N}_i$</li>
	</ul>
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/axial_strain.svg" width="80%">
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/axial_force.svg" width="80%">
	<aside class="notes">
		L'extension de la fibre neutre conduit à l'évaluation de l'effort axial au milieu des arrêtes
	</aside>
</section>

<section class="">
	<h5 class="">Torsional Behaviour</h5>
	<ul>
		<li>Parallel transport > $\Delta \theta_i$</li>
		<li>Rate of twist > $\tau_i$</li>
		<li>Material twist > $\varkappa_{3,i}$</li>
		<li>Twisting moment > $\mathbf{Q}_i$</li>
	</ul>
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/torsion_1.svg" width="80%">
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/torsion_2.svg" width="80%">
	<aside class="notes">
		La mesure de la torsion mécanique s'effectue à l'aide du transport parallèle entre deux repère matériels consécutifs.
		<hr>
		Elle conduit à l'évaluation du moment de torsion au milieu des arrêtes
	</aside>
</section>

<section class="">
	<h5 class="">Bending Behaviour</h5>
	<ul>
		<li>Geometric curvature > $\mathbf{\kappa b}_i$</li>
		<li>Material curvature > $\mathbf{\varkappa}_i = (1+\epsilon_i) \mathbf{\kappa b}_i$</li>
		<li>Bending moment > $\mathbf{M}^{\perp}_i$</li>
	</ul>
	<hr>
	<img class="imgfragment" src="./img/eq/bending_4.svg" width="80%"/>
	<div>
		<!-- <span class="imgsrc" data-src="./img/eq/bending_1.svg" data-fragment-index="0"></span>
		<span class="fragment imgsrc" data-src="./img/eq/bending_2.svg" data-fragment-index="1"></span>
		<span class="fragment imgsrc" data-src="./img/eq/bending_3.svg" data-fragment-index="2"></span> -->
		<span class="imgsrc" data-src="./img/eq/bending_4.svg" data-fragment-index="0"></span>
		<span class="fragment imgsrc" data-src="./img/eq/bending_5.svg" data-fragment-index="1"></span>		
	</div>
	<!-- <hr> -->
	<div class="fragment">
		<img data-src="./img/eq/bending_6.svg" width="80%">
		<img data-src="./img/eq/bending_7.svg" width="80%">
	</div>
	<aside class="notes">
		Le calcul du moment de flexion concentre toutes les difficultées.
		<hr>
		Au niveau des noeuds fantômes, il est calculé à partir de la courbure des noeuds du segment.
		<hr>
		Au niveau des noeuds poignée, la définition de la tangente est relachée pour pouvoir créer une discontinuité de courbure.
		<hr> 
		La position de la tangente est calculée à partir de la courbure moyenne des segments adjacents. En pratique celà revient à controler l'orientation du vecteur tangent au niveau des noeuds poignées par la position des noeuds fantômes adjacents.
		<hr>
		La tangente étant défini, on peut calculer les courbures à gauche et à droite du noeuds poignés, par la méthode du biarc.
		<hr>
		Ces courbures sont finalement corrigées pour tenir compte d'un éventuellement moment extérieur. Elles conduisent à l'expression finale du moment de flexion à droite et à gauche du noeud.
	</aside>
</section>

<section class="">
	<h5 class="">Shear Behaviour</h5>
	<ul>
		<li>Shear force > $\mathbf{F}^{\perp}_i$</li>
		<li>Reacting parameter</li>
	</ul>
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/shear.svg" width="80%">
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/shear_2.svg" width="80%">
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/shear_3.svg" width="80%">
	<aside class="notes">
		Finalement, l'effort tranchant est évalué au milieu des arrêtes par la variation de moment interne à partir des équations de kirchhoff.
	</aside>
</section>

<section class="">
	<h5 class="">Interpolation</h5>
	<ul>
		<li>Linear interpolation : mid-edge > vertex </li>
		<li>From the equations of motion with inertial terms neglected</li>
		<li>Beam > <mark>particle-spring system</mark></li>
	</ul>
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/interpolation_1.svg" width="80%">
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/interpolation_2.svg" width="80%">
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/interpolation_3.svg" width="80%">
	<aside class="notes">
		Enfin, les efforts évalués au milieu des arrêtes sont interpolés pour être exprimés au niveau des noeuds, toujours à partir des équations de kirchhoff.
		<hr>
		
	</aside>
</section>

<!-- 
=============================================================================================== 
	Particle Spring System
=============================================================================================== 
-->
<section class="plan center">
	<strong>Particle-Spring System</strong>
	<aside class="notes">
		A ce stade, nous avons tous les éléments en notre possession pour décrire notre poutre comme un système masse ressort et simuler son mouvement.
	</aside>
</section>

<section class="">
	<h5 class="">Particle-Spring System</h5>
	<ul>
		<li>Particle(s) motion under resultants > $R_i^x\;,\;R_i^{\theta}$</li>
		<li>Lumped masses > $m_i^x\;,\;m_i^{\theta}$</li>
		<li>Curve-angle representation > 4-DOFs</li>
	</ul>
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/ps_motion.svg" width="80%">
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/resultant_1.svg" width="80%">
	<hr>
	<img data-src="./img/eq/resultant_2.svg" width="80%">
	<aside class="notes">
		La dynamique de la poutre est désormais comprise comme le mouvement d'un système de particules, représentées par les repères matériels discrets de la poutre au niveau des noeuds.
		<hr>
		Du fait de la représentation curve-angle, cette dynamique s'exprime avec seulement 4 degrés de libertés.
		<hr>
		Les résultantes agissant sur les particules sont obtenues comme sommation :
		<ul>
			<li>des efforts internes appliqués par la partie droite de la poutre;</li>
			<li>des efforts internes appliqués par la partie gauche de la poutre;</li>
			<li>et des efforts externes appliqués sur la particule.</li>
		</ul>
	</aside>
</section>

<section class="">
	<h5 class="">Dynamic Relaxation</h5>
	<ul>
		<li>Dynamic > explicit time integration</li>
		<li>Artificial damping > quasi-static state</li>
		<li>Fictitious masses > stability & optimal convergence</li>
	</ul>
	<hr>
	<object width="75%" type="image/svg+xml" data="img/eq/pendulum_anim_Ep.svg"></object>
	<p style="margin-top:-0.5em;">	<cite>[Day, 1962]</cite></p>
	<aside class="notes">
		Notre objectif final n'est pas de faire de la dynamique, bien que notre élément en soit tout à fait capable. Ce que nous voulons calculer c'est la forme d'équilibre statique d'un gridshell.
		<hr>
		La méthode de la relaxtion dynamique permet cela. Tant que le système n'est pas à l'équilibre, les particules sont en mouvement sous l'action des forces résultantes. La dynamique est intégrée explicitement à partir des équations du mouvement.
		<hr>
		En amortissant le système, on dissipe de l'énergie et on le conduit vers un état d'énergie potentielle minial.
		<hr>
		Cette dynamique étant fictive, on peut choisir librement les masses des particules afin d'assurer la stabilité de l'algorithme et optimiser sa vitesse de convergence.
	</aside>
</section>

<section class="center positive" >
	<h5>Achievement</h5>
	<ul style="text-align:left; margin-left:2em;">
		<li>Dynamic beam model from Kirchhoff theory</li>
		<li>Only 4-DOFs</li>
		<li>Extension + Flexion + Torsion</li>
		<li>Accounts for distributed applied loads</li>
		<div class="fragment">
		<hr>
		<li>Discrete biarc beam model</li>
		<li>Only 4-DOFs</li>
		<li>Enriched kinematic with ghost nodes</li>
		<li>Accounts for concentrated & distributed loads</li>
		<li>Particle-Spring system > Dynamic Relaxation</li>
		</div>
	</ul>
	<aside class="notes">
		Synthétisons nos résultats :
		<ul>
			<li>Nous avons construit un modèle de poutre directement à partir des équations dynamiques de Kirchhoff, une approche plus complète que l'approche variationnelle.</li>
			<li>Le modèle est formulé avec seulement quatre degrés de libertés grâce à une représentation curve-angle de la poutre basé sur la construction du repère de Bishop.</li>
			<li>Le modèle prend en compte les comportements axial, de flexion et de torsion de la poutre.</li>
			<li>Il intègre naturellemment les efforts distribués.</li>
		</ul>
		<hr>
		<ul>
			<li>A partir de ce modèle continu, nous avons contruit une élément de poutre discret original dit biarc.</li>
			<li>Cet élément permet, par un choix approprié de courbure discrete et grâce à l'ajout d'un noeud fantôme, de décrire des discontinutiés de courbure au sein de la poutre.</li>
			<li>Grâce à cette description notre modèle discret peut représenter fidèlement les sauts d'efforts internes générés par des efforts concentrés appliqués sur la poutre.</li>
			<li>Enfin, nous avons montré comment, nous pouvions interpréter notre modèle discret comme un système masse-ressort, un formalisme tout à fait adapté à l'intégration explicite du système par la méthode de la relaxation dynamique.</li>
		</ul>
	</aside>	
</section>