Skip to content

Latest commit

 

History

History
151 lines (84 loc) · 8.5 KB

transfer_functions.md

File metadata and controls

151 lines (84 loc) · 8.5 KB

Funzioni di trasferimento

Questa e' la parte piu' pratica relativa agli esercizi riguardanti la realizzazione di filtri FIR e IIR tramite funzioni di trasferimento.

Legenda

  • zeri (o radici): valori per cui si annulla il numeratore
  • poli: valori per cui si annulla il denominatore (calcolare z, non z^-1)
  • coefficienti di riflessione: coefficienti calcolati
  • residui: i coefficienti al numeratore ottenuti in fase di scomposizione in fratte parziali (avendo tutti gradi 1 al denominatore)

Metodi di risoluzione

  • fattorizzazione (regole imparate alle superiori)
  • scomposizione in fratte parziali (vedi sotto)
  • long division: divisione tra 2 polinomi con metodo in colonna, affinche' l'esponente del numeratore sia inferiore a quello del denominatore
  • calcolo tra coefficienti della scomposizione (da vedere)
  • stabilita' BIBO: verificare che tutti i poli (o i coefficienti di riflessione) abbiano modulo < 1 (nota: <, non <=)

Nota: un filtro FIR (solo numeratore) e' sempre stabile per definizione

Consigli:

  • i^2 = -1 e quindi se hai -1 puoi manipolare i segni e fare scomposizioni e fattorizzazioni ulteriori
  • con i al denominatore, si puo' moltiplicare per i / i per portare i al numeratore
  • TODO funzioni Octave per verificare gli esercizi (es: scomposizione in fratte parziali bidirezionali)

Scomposizione in fratte parziali

Per scomporre un polinomio in frazioni parziali, mi è stato molto utile il corso Partial Fractions: Khan Academy.

Tipologie

Tipi di realizzazione:

  • diretta
  • diretta II
  • diretta II trasposta
  • parallela di 2 filtri del secondo ordine, con diretta II
  • traliccio
  • traliccio-scala

In vari casi e' richiesto di determinare la stabilita' del filtro in senso BIBO.

Diretta

Si disegna direttamente, di seguito un filtro FIR.

Diretta II

E' sufficiente avere l'1 come il coefficiente di z^0 al denominatore.

Diretta II trasposta

Come la diretta II, in cui bisogna:

  • invertire versi dei triangolini
  • sostituire + con . (e viceversa)
  • altro?

Cascata (in serie)

L'obiettivo e' ottenere il prodotto di piu' polinomi, principalmente attraverso la fattorizzazione.

Parallelo

L'obiettivo e' ottenere la somma di piu' polinomi, principalmente attraverso la scomposizione in fratte parziali. Prima di fare questo bisogna assicurarsi di avere il grado del numeratore minore di quello del denominatore.

Traliccio

Questa realizzazione prevede il calcolo dei coefficienti di riflessione.

  1. Vediamo che il primo coefficiente e' gia' 1, quindi ok

  2. Prendiamo il primo k (ultimo coefficiente)

  3. sottraiamo k * H(z) a coefficienti invertiti

  4. dato che il primo coefficiente e' != 1, moltiplichiamo di conseguenza

  5. a questo punto ripetiamo fino ad ottenere 4 k

  6. infine disegniamo il diagramma a traliccio

Traliccio scala

Il traliccio scala e' simile alla realizzazione a traliccio aggiungendone una parte.

  1. si parte dal denominatore e si cercano i coefficienti di riflessione, quindi come prima cosa otteniamo l'1 come primo coefficiente del denominatore

  2. quindi dato k3 = 1/2, sottraiamo a coefficienti invertiti come gia' visto per il traliccio

  3. ripetiamo fino ad ottenere i 3 coefficienti, ma dobbiamo tenere in cache anche le varie fasi in cui si sviluppa il polinomio

  4. a questo punto ripartiamo dal numeratore e facciamo lo stesso lavoro, pero' andando a sottrarre i coefficienti presi dal denominatore (dato j3 = 4)

  5. calcoliamo cosi' 4 j

  6. e andiamo infine a disegnare