|
1 | 1 | { |
2 | | - "appTitle": "Buffons Nadel", |
3 | | - "appSubtitle": "Schätzung von $\\pi$ durch geometrische Wahrscheinlichkeit", |
4 | | - "dropHint": "Werfen Sie Nadeln, um $\\pi$ zu schätzen…", |
5 | | - "legendCrossing": "Schneidet Linie", |
6 | | - "legendNotCrossing": "Schneidet nicht", |
7 | | - "panelParameters": "Parameter", |
8 | | - "panelNeedleConstraint": "Nadellänge darf den Linienabstand nicht überschreiten.", |
9 | | - "labelNeedleLength": "Nadellänge", |
10 | | - "descNeedleLength": "Länge jeder geworfenen Nadel", |
11 | | - "labelLineSpacing": "Linienabstand", |
12 | | - "descLineSpacing": "Abstand zwischen parallelen Linien", |
13 | | - "labelSpeed": "Geschwindigkeit", |
14 | | - "descSpeed": "Nadeln pro Animationsframe", |
15 | | - "descSpeedSlow": "Eine Nadel alle {n} Frames", |
16 | | - "labelMaxNeedles": "Max. Nadeln", |
17 | | - "descMaxNeedles": "Simulation stoppt nach dieser Anzahl", |
18 | | - "btnStart": "▶ Starten", |
19 | | - "btnPause": "⏸ Pause", |
20 | | - "btnReset": "↺ Zurücksetzen", |
21 | | - "btnDropOne": "+ Eine werfen", |
22 | | - "btnMaxReached": "↺ Maximum erreicht — Zurücksetzen", |
23 | | - "panelStats": "Live-Statistik", |
24 | | - "statNeedlesDropped": "Geworfene Nadeln", |
25 | | - "statCrossingLines": "Schneidende Nadeln", |
26 | | - "statCrossingRatio": "Schneidequote", |
27 | | - "statPiReal": "$\\pi$ (real)", |
28 | | - "statPiEstimated": "$\\pi$ (geschätzt)", |
29 | | - "statAbsError": "Absoluter Fehler", |
30 | | - "statRelError": "Relativer Fehler", |
31 | | - "tooltipCrossingRatio": "Das Verhältnis der schneidenden Nadeln ($c$) zur Gesamtanzahl geworfener Nadeln ($n$). Dies ist die experimentelle Schätzung der theoretischen Schnittwahrscheinlichkeit.", |
32 | | - "tooltipPiEstimated": "Umgestellte Buffon-Formel: $\\pi$ wird aus Nadellänge ($l$), Linienabstand ($d$) und dem gemessenen Schnittverhältnis geschätzt. Mehr Schnitte → bessere Schätzung.", |
33 | | - "tooltipAbsError": "Die absolute Differenz zwischen der $\\pi$-Schätzung und dem wahren Wert von $\\pi$. Nimmt im Durchschnitt mit mehr Nadelwürfen ab.", |
34 | | - "tooltipRelError": "Der absolute Fehler ausgedrückt als Prozentsatz des wahren $\\pi$-Wertes. Nützlich zum Vergleich der Genauigkeit unabhängig von der Skala.", |
35 | | - "panelHowItWorks": "So funktioniert es", |
36 | | - "infoIntro": "Buffons Nadel ist ein Wahrscheinlichkeitsexperiment, das der französische Mathematiker Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, erstmals 1733 beschrieb. Es ist eines der ältesten Probleme der geometrischen Wahrscheinlichkeit und bietet einen überraschenden Weg, den Wert von $\\pi$ mithilfe von Zufall und Geometrie zu schätzen.", |
37 | | - "infoSetupTitle": "Aufbau", |
38 | | - "infoSetup": "Ein Boden ist mit parallelen Linien im Abstand $d$ gerastert. Eine Nadel der Länge $l$ wird zufällig auf den Boden geworfen. Wir fragen: Mit welcher Wahrscheinlichkeit schneidet die Nadel eine der Linien?", |
39 | | - "infoConditionTitle": "Schnittbedingung", |
40 | | - "infoCondition": "Sei $y_c$ der senkrechte Abstand des Nadelmittelpunkts zur nächsten Linie und $\\theta$ der spitze Winkel zwischen Nadel und Linien. Die Nadel schneidet eine Linie, wenn ihre Halbprojektion auf die senkrechte Richtung die nächste Linie erreicht:", |
41 | | - "infoConstraint": "Das Experiment setzt den Kurznadel-Fall $l \\leq d$ voraus, bei dem die Nadel höchstens eine Linie gleichzeitig schneiden kann.", |
42 | | - "infoProbTitle": "Wahrscheinlichkeit", |
43 | | - "infoProb": "Durch Integration über alle möglichen Positionen und Winkel (beide gleichmäßig verteilt) ergibt sich die theoretische Schnittwahrscheinlichkeit:", |
44 | | - "infoEstimateTitle": "Schätzung von $\\pi$", |
45 | | - "infoEstimate": "Nach $n$ Würfen mit $c$ Schnitten lässt sich die Wahrscheinlichkeitsformel nach $\\pi$ umstellen:", |
46 | | - "infoConverge": "Die Schätzung verbessert sich mit mehr Nadeln — nach dem Gesetz der großen Zahlen konvergiert das Schnittverhältnis zur theoretischen Wahrscheinlichkeit und treibt die $\\pi$-Schätzung gegen $3.14159\\ldots$", |
47 | | - "infoInteractTitle": "Interaktive Steuerung", |
48 | | - "infoInteract": "Sie können Nadellänge und Linienabstand anpassen, die Simulationsgeschwindigkeit steuern und durch Klicken auf die Leinwand eine Nadel an einer bestimmten Position mit zufälligem Winkel werfen.", |
49 | | - "clickToDropHint": "Klicken Sie auf die Leinwand, um eine Nadel an dieser Stelle zu werfen", |
50 | | - "footerStar": "Stern auf GitHub", |
51 | | - "footerFork": "Forken", |
52 | | - "chartPiConvergence": "Konvergenz der $\\pi$-Schätzung", |
53 | | - "chartNoData": "Werfen Sie Nadeln, um das Diagramm zu sehen…", |
54 | | - "chartExpand": "Diagramm vergrößern", |
55 | | - "chartZoomHint": "Ziehen Sie die Griffe unten, um in einen Bereich des Diagramms zu zoomen." |
| 2 | + "appTitle": "Buffons Nadel", |
| 3 | + "appSubtitle": "Schätzung von $\\pi$ durch geometrische Wahrscheinlichkeit", |
| 4 | + "dropHint": "Werfen Sie Nadeln, um $\\pi$ zu schätzen…", |
| 5 | + "legendCrossing": "Schneidet Linie", |
| 6 | + "legendNotCrossing": "Schneidet nicht", |
| 7 | + "panelParameters": "Parameter", |
| 8 | + "panelNeedleConstraint": "Nadellänge darf den Linienabstand nicht überschreiten.", |
| 9 | + "labelNeedleLength": "Nadellänge", |
| 10 | + "descNeedleLength": "Länge jeder geworfenen Nadel", |
| 11 | + "labelLineSpacing": "Linienabstand", |
| 12 | + "descLineSpacing": "Abstand zwischen parallelen Linien", |
| 13 | + "labelSpeed": "Geschwindigkeit", |
| 14 | + "descSpeed": "Nadeln pro Animationsframe", |
| 15 | + "descSpeedSlow": "Eine Nadel alle {n} Frames", |
| 16 | + "labelMaxNeedles": "Max. Nadeln", |
| 17 | + "descMaxNeedles": "Simulation stoppt nach dieser Anzahl", |
| 18 | + "btnStart": "▶ Starten", |
| 19 | + "btnPause": "⏸ Pause", |
| 20 | + "btnReset": "↺ Zurücksetzen", |
| 21 | + "btnDropOne": "+ Eine werfen", |
| 22 | + "btnMaxReached": "↺ Maximum erreicht — Zurücksetzen", |
| 23 | + "panelStats": "Live-Statistik", |
| 24 | + "statNeedlesDropped": "Geworfene Nadeln", |
| 25 | + "statCrossingLines": "Schneidende Nadeln", |
| 26 | + "statCrossingRatio": "Schneidequote", |
| 27 | + "statPiReal": "$\\pi$ (real)", |
| 28 | + "statPiEstimated": "$\\pi$ (geschätzt)", |
| 29 | + "statAbsError": "Absoluter Fehler", |
| 30 | + "statRelError": "Relativer Fehler", |
| 31 | + "tooltipCrossingRatio": "Das Verhältnis der schneidenden Nadeln ($c$) zur Gesamtanzahl geworfener Nadeln ($n$). Dies ist die experimentelle Schätzung der theoretischen Schnittwahrscheinlichkeit.", |
| 32 | + "tooltipPiEstimated": "Umgestellte Buffon-Formel: $\\pi$ wird aus Nadellänge ($l$), Linienabstand ($d$) und dem gemessenen Schnittverhältnis geschätzt. Mehr Schnitte → bessere Schätzung.", |
| 33 | + "tooltipAbsError": "Die absolute Differenz zwischen der $\\pi$-Schätzung und dem wahren Wert von $\\pi$. Nimmt im Durchschnitt mit mehr Nadelwürfen ab.", |
| 34 | + "tooltipRelError": "Der absolute Fehler ausgedrückt als Prozentsatz des wahren $\\pi$-Wertes. Nützlich zum Vergleich der Genauigkeit unabhängig von der Skala.", |
| 35 | + "panelHowItWorks": "So funktioniert es", |
| 36 | + "infoIntro": "Buffons Nadel ist ein Wahrscheinlichkeitsexperiment, das der französische Mathematiker Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, erstmals 1733 beschrieb. Es ist eines der ältesten Probleme der geometrischen Wahrscheinlichkeit und bietet einen überraschenden Weg, den Wert von $\\pi$ mithilfe von Zufall und Geometrie zu schätzen.", |
| 37 | + "infoSetupTitle": "Aufbau", |
| 38 | + "infoSetup": "Ein Boden ist mit parallelen Linien im Abstand $d$ gerastert. Eine Nadel der Länge $l$ wird zufällig auf den Boden geworfen. Wir fragen: Mit welcher Wahrscheinlichkeit schneidet die Nadel eine der Linien?", |
| 39 | + "infoConditionTitle": "Schnittbedingung", |
| 40 | + "infoCondition": "Sei $y_c$ der senkrechte Abstand des Nadelmittelpunkts zur nächsten Linie und $\\theta$ der spitze Winkel zwischen Nadel und Linien. Die Nadel schneidet eine Linie, wenn ihre Halbprojektion auf die senkrechte Richtung die nächste Linie erreicht:", |
| 41 | + "infoConstraint": "Das Experiment setzt den Kurznadel-Fall $l \\leq d$ voraus, bei dem die Nadel höchstens eine Linie gleichzeitig schneiden kann.", |
| 42 | + "infoProbTitle": "Wahrscheinlichkeit", |
| 43 | + "infoProb": "Durch Integration über alle möglichen Positionen und Winkel (beide gleichmäßig verteilt) ergibt sich die theoretische Schnittwahrscheinlichkeit:", |
| 44 | + "infoEstimateTitle": "Schätzung von $\\pi$", |
| 45 | + "infoEstimate": "Nach $n$ Würfen mit $c$ Schnitten lässt sich die Wahrscheinlichkeitsformel nach $\\pi$ umstellen:", |
| 46 | + "infoConverge": "Die Schätzung verbessert sich mit mehr Nadeln — nach dem Gesetz der großen Zahlen konvergiert das Schnittverhältnis zur theoretischen Wahrscheinlichkeit und treibt die $\\pi$-Schätzung gegen $3.14159\\ldots$", |
| 47 | + "infoInteractTitle": "Interaktive Steuerung", |
| 48 | + "infoInteract": "Sie können Nadellänge und Linienabstand anpassen, die Simulationsgeschwindigkeit steuern und durch Klicken auf die Leinwand eine Nadel an einer bestimmten Position mit zufälligem Winkel werfen.", |
| 49 | + "clickToDropHint": "Klicken Sie auf die Leinwand, um eine Nadel an dieser Stelle zu werfen", |
| 50 | + "footerStar": "Stern auf GitHub", |
| 51 | + "footerFork": "Forken", |
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