26-LJEDD2

[LJEDD2]

🔗 문제 링크

백준 - 최단 경로 찾기 | 플로이드

문제 설명

• n(2 ≤ n ≤ 100)개의 도시에서 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 m(1 ≤ m ≤ 100,000)개의 버스가 있다.
• 각 버스는 한 번 사용할 때 필요한 비용이 있다.
• 모든 도시의 쌍 (A, B)에 대해서 도시 A에서 B로 가는데 필요한 비용의 최솟값을 찾자.

제한 조건

• 시작 도시와 도착 도시를 연결하는 노선은 하나가 아닐 수 있다.
• i에서 j로 갈 수 없는 경우에는 그 자리에 0을 출력

✔️ 소요된 시간

1시간

✨ 수도 코드

태규스승님의 기가막힌 플로이드워셜 강의를 듣고 블로그에 따로 TIL을 작성했다.

📝 플로이드-워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘이란?

Note

✨핵심 아이디어
🤔 지정된 출발 지점에서 다른 지점으로 향하는 최소 비용을 구하는 다익스트라 알고리즘과는 다르게 시작지점이 정해져있지 않다는 특징이 있다!
🤔 출발지점에서 모든 도착지점까지의 모든 최소비용을 계산하는 알고리즘이다 !
-> 한 점에서 이웃 노드를 탐색하며 최단 거리를 구하는 다익스트라 알고리즘과는 다르게, 거쳐가는 중간 노드를 기준으로 최단 거리를 구한다는 점!
🤔 쉽게 말하자면 비싼 돈내고 택시를 탈 것이냐 1550원으로 버스 환승 두번을 하냐... 요런 느낌 !

​
구현 방법은 다음과 같다.

🤔 동작원리

1. 초기세팅

• 인접 노드 비용 2차원 배열을 구하고 각 정점 사이의 가중치로 초기화한다.
• 서로 인접하지 않은 노드까지의 비용은 아주 큰 값(INF)으로 설정한다.
• 또 자기 자신으로의 비용은 0으로 한다.

입력 예시를 보면 노선이 똑같지만 비용이 다른 입력들이 존재했다.

• 이 부분에 대해 최솟값으로 입력을 넣어주는 것에 주의한다.

import sys
input = sys.stdin.readline

city = int(input()) #도시의 수
bus = int(input()) #버스 노선의 수

#2차원 테이블
INF = int(1e9) #무한
graph = [[INF]*(city+1) for _ in range(city+1)]

#출발 도시와 도착 도시가 동일한 경우 0으로 초기화
for x in range(1,city+1) :
    graph[x][x] = 0

# 간선 정보
for _ in range(bus) :
    # 버스는 사용할 때 비용이 든다.
    # 입력값 중복 .. / 더 싼 노선의 비용으로 입력
    start, end, cost = map(int,input().split())
    graph[start][end] = min(cost, graph[start][end])

2. 동작 방식

1. 특정 노드 i를 선택한다.
2. 노드 i를 중간 노드로 하여 a -> b로 가는 비용을 업데이트 한다.
3. 기존의 a -> b 로 가는 비용과 a -> i + i -> b로 가는 비용을 비교하여 더 작은 것으로 업데이트 한다. 모든 조합을 반복문으로 탐색한다.
4. 2~3의 과정을 모든 정점에 대해서 반복한다.
   ​

3. 경유점을 지나는 최단거리

0번 정점부터 k번 정점까지만을 경유점으로 썼을 때 u에서 v까지 가는 최단 경로의 길이를 찾는다.

1. 자료구조 : 2차원 테이블

   • 다익스트라 알고리즘의 최단경로 테이블은 1차원 테이블로 구성 가능했지만, 플로이드-워셜 알고리즘은 시작점이 1개에서 n개로 증가한만큼 1차원 테이블도 n개 증가한 2차원테이블이 필요하다.

2. 알고리즘

   • 출발과 도착에는 두 가지 노선이 있다.
   • 직행노선 : 직행노선으로 최단경로 테이블 갱신하기
   • 경유노선 : 경유노선으로 최단경로 테이블 갱신하기

• 직행보다 오히려 경유노선이 최단경로일 수 있다. 경유노선이 가능한 모든 경우를 탐색하여 최단경로 테이블을 갱신해야 한다.
• 경유노선 완전탐색의 경우 B > A 값은 B > C > A 일수도 B > A 일수도 있다. 따라서 두 값 중 최소가 되는 값을 최단거리로 갱신한다.
• A를 경유하는 D > C 최단거리를 구한다면 아래와 같이 표현할 수 있다.
  • D > C 최단거리 = min ( D > C 최단거리테이블 값, ( D > A 최단거리테이블 값 + A > C 최단거리테이블 값 ) )
• 경유점, 시작점, 도착점 3가지 요소에 따라 경우의 수가 생성되므로 완전탐색을 구현하려면 3중for문을 구현해야한다.
• 따라서 다음과 같이 코드를 작성해볼 수 있다.

✅ 구현 코드

#플로이드-워셜 알고리즘
for middle in range(1,city+1) : # 경유점
    for start in range(1,city+1) : # 시작점
        for end in range(1,city+1) : # 도착점
            # 최단경로 테이블에는 다양한 경로의 값이 누적
            # 직행보다 오히려 경유노선이 최단경로일 수 있다
            # dp가 사용된다.
            if graph[start][middle] != 1e9 and graph[middle][end] != 1e9:
                cost = graph[start][middle] + graph[middle][end]
                graph[start][end] = min(graph[start][end], cost) # 직행이냐 경유냐 비교해서 최단경로 업데이트

for x in range(1, city+1):
    for y in range(1, city+1):
        if graph[x][y] == INF:
            print(0, end=' ')
        else:
            print(graph[x][y], end=' ')
    print()

📚 새롭게 알게된 내용

[알고리즘/ 그래프] 다익스트라(Dijkstra) vs 플로이드 와샬(Floyd Warshall) (JAVA)
플로이드-워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘이란?

[9kyo-hwang]

어차피 min값으로 계속 갱신하기 때문에, INF가 아닌 경우라고 굳이 조건을 걸어줄 필요는 없겠죠?

graph[start][end] = min(graph[start][end], graph[start][middle] + graph[middle][end])

[janghw0126]

이번에 정은님 덕분에 이름만 들었던 플로이드-워셜 알고리즘 개념을 처음 알게 되었습니다! 처음에는 이해가 와닿지 않았는데

🤔 쉽게 말하자면 비싼 돈내고 택시를 탈 것이냐 1550원으로 버스 환승 두번을 하냐... 요런 느낌 !

부분을 읽고 확실히 이해하게 되었습니다🧐 감사합니당😘

또한 플로이드 개념을 이해해도 처음 접해보는 문제라 쉽지 않았습니다,, 그래서 몇 시간을 붙잡다가 답이 안보여서 결국 손으로 코드를 따라 작성해보고 코드의 동작 과정을 이해하게 되었습니다🥹🥹 아직 이 부분 알고리즘을 공부하기에는 멀었지만 곧 따라잡아서 플로이드 알고리즘을 뿌셔보도록 하겠습니다👊

이번 PR도 수고하셨어요!🔥

[Hwangyerin]

29번 줄에서는 무한대를 나타내기위해 1e9 를 사용하였는데 여기서는 INF로 무한대를 나타낸 이유가 있을까요?

[LJEDD2]

헉 원래 1e9로 써두고 PR쓸때 INF 변수를 새로 만들었는데 코드 수정이 덜 되어있었군요 ! 다음번에는 잘 ... 체크하겠습니다 ....

[avocado-13]

오 정은님 덕분에 다익스트라 알고리즘과 플로이드 워셜 모두 알게 되었씁니다 ><
다익스트라 알고리즘과 달리 시작지점이 정해져있지 않고, 중간 노드를 거치는 경우도 고려한다는 점이 흥미롭군요 🧐👀